Para cada subgrupo $H\subset G$ , $BH$ se presenta como un espacio de cobertura de $BG$ . Si $BG$ fuera finito-dimensional entonces cada espacio de cobertura sería finito-dimensional. Pero para $C_p$ cíclico de orden primo $p$ el espacio $BC_p$ tiene mod $p$ cohomología en infinitas dimensiones (de hecho, en todas). Esto se puede hacer bastante geométrica: hay una estructura de celda agradable con una célula en cada dimensión y manifolds (espacios de lentes) como el esqueleto impar-dimensional ...
EDITAR Por cierto, esto también da lugar a la afirmación más general de que $BG$ no puede ser finito-dimensional a menos que $G$ no tiene torsión.
EDITAR En respuesta a un comentario aquí hay algunos detalles: Hacer $C_p$ actuar $S^{2n-1}$ la esfera unitaria en $\mathbb C^n$ libremente por $p$ ª raíz de $1$ . Esta esfera es $(2n-2)$ -y la unión como $n\to\infty$ es contractible, por lo que el espacio orbital es un modelo para $BC_p$ . Se puede describir la estructura de una célula en $S^{2n-1}$ con $p$ células en todas las dimensiones hasta $2n-1$ dando lugar a una estructura de celdas en el espacio orbital con una celda en cada dimensión hasta $2n-1$ de modo que $BC_p$ obtiene una celda en cada dimensión. Se pueden calcular los mapas de límites y ver que el mod. $p$ es no trivial en todas las dimensiones. O puedes ahorrarte algunos problemas utilizando la dualidad de Poincare, ya que estos esqueletos numerados Impares son variedades.
