Esquilas planas y morfismo inducido

Question

Hola,

Quiero considerar un módulo $P$ sobre un producto $X \times Y$ de variedades sobre un campo de característica cero, tal que $P$ es plano sobre $X$ . Además quiero considerar para cada punto cerrado $x$ en $X$ el mapa natural

$i_x:Y\rightarrow X\times Y$ ,

que procede del diagrama cartesiano inducido por la inclusión de $x$ en $X$ así que ingenuamente es sólo: enviar un punto $y$ en $Y$ a $(x,y)$ para ese fijo $x$ . En $P_x$ Quiero denotar el pullback de $P$ vía $i_x$ .

Supongamos que para cada $x$ tienes que $P_x$ es el rascacielos $k(y)$ para un punto cerrado $y$ en $Y$ . Entonces puedo definir un mapa de conjuntos

$f:Cl(X)\rightarrow Cl(Y)$

entre los puntos cerrados $Cl(X)$ y $Cl(Y)$ en $X$ y $Y$ . Mi pregunta: ¿se puede utilizar este $f$ para definir un morfismo real entre $X$ y $Y$ como variedades?

Observación: en el caso que me interesa la f es biyectiva. ¿Implica esto entonces que, si la extensión existe, es automáticamente una iso?

Gracias.

Answer 1

Asumiré que $X$ es normal. Sea $Z$ sea el soporte de $P$ en $X\times Y$ . Entonces por su suposición $Z$ se proyecta biyectivamente sobre $X$ . Puesto que estamos en la característica $0$ este mapa es separable, así que por el teorema principal de Zariski, se trata de un isomorfismo. Entonces componiendo el inverso con este isomorfismo con la proyección a $Y$ se obtiene un morfismo $X\to Y$ .

Answer 2

He visto esta pregunta mientras trataba de entender la demostración del Cor. 5.23 de la transformada Furier-Mukai de Huybrecht. Con exactamente los mismos supuestos, se llega a la conclusión de que utilizando secciones locales del módulo se puede definir un morfismo. Esto no puede ser difícil, pero estoy a medio entenderlo. También hay una respuesta a la segunda pregunta: si las variedades son suaves entonces es una iso. Si no, Huybrechts utiliza el supuesto de que las categorías derivadas son equivalentes.