Para $F_0(z)=1/(1-z)^i$ verifique que $|F_0(z)|\leq e^{\pi/2}$ en el disco de la unidad

Question

Sea $F_0(z)=1/(1-z)^i$ verifique que $|F_0(z)|\leq e^{\pi/2}$ en el disco unitario, pero que $\lim_{r\to 1} F_0(r)$ no existe.

Está claro que $|F_0(r)|=1$ pero no recuerdo cómo hacer la función con potencia compleja. Como dejo $z=a+bi$ y utilizar alguna ecuación como $x=\exp(\ln x)$ se complica aún más.

Agradeceremos cualquier ayuda.

Answer 1

¿Qué sabes de los logaritmos en el plano complejo? Lo primero que debes saber es que las potencias de los números complejos no están bien definidas en general. Aquí $(1-z)^{i}$ se define utilizando la rama principal del logaritmo. Escribe $F(z)=e^{-i Log (1-z)}$ y recordar la definición de $Log (z)$ como $\ln |z|+i\theta$ donde $z=|z|e^{i \theta},-\pi < \theta < \pi$ . ¿Ahora puedes completar la solución?