¿Es verdad que el orden de $ab$ siempre es igual al orden de $ba?

Question

¿Cómo demuestro que si $a$, $b$ son elementos de un grupo, entonces $o(ab) = o(ba)$?

Por alguna razón termino haciendo la prueba para la abelianidad, es decir, asumo que el orden de $ab$ es $2$ y hago los pasos que me llevan a concluir que $ab=ba$, por lo que los órdenes deben ser los mismos. ¿Esa es la forma correcta de hacerlo?

Answer 1

Aquí hay un enfoque que te permite hacer algunos movimientos de manos y no realizar ningún cálculo en absoluto. $ab$ y $ba$ son conjugados: de hecho, $ba=a^{-1}(ab)a$. Es obvio (y probablemente ya se sabe en este punto) que la conjugación es un automorfismo del grupo, y es obvio que los automorfismos conservan los órdenes de los elementos.

Answer 2

Pista: Suponga que $ab$ tiene orden $n$, y considere $(ba)^{n+1}$.

Otra pista está en gris debajo (pase el mouse sobre ella para mostrarla):

Note que $(ba)^{n+1} = b(ab)^na$.

Answer 3

Si $(ab)^n=e$ entonces $(ab)^na=a$. Dado que $(ab)^na=a(ba)^n$, $(ba)^n=e$. Esto demuestra que el orden de $ba$ divide al orden de $ab$. Por simetría, el orden de $ab$ también divide al orden de $ba. Por lo tanto, el orden de $ab$ y el orden de $ba$ coinciden.

Answer 4

Por asociatividad, $(ab)^p=a(ba)^{p-1}b$ para $p\geqslant 1$. Si $(ab)^p=e$ entonces $a(ba)^{p-1}b=e$, por lo tanto $a(ba)^p=a$ y $(ba)^p=e$. Concluimos que para $p\geqslant 1$, $$(ab)^p=e\Leftrightarrow (ba)^p=e.$$

Answer 5

Otra forma elemental
Supongamos, por el contrario, que $|ab|,|ba|$ son diferentes
Sin pérdida de generalidad, asumamos que $|ab|=n>|ba|=k$
$(ab)^n= abababab........ab=e$
$a(ba)^{n-1}b=e$ como asunción de forma k $a(ba)^{n-1-k}b=e=(ab)^{n-k}$ lo que implica que el orden de ab es n-k, lo cual contradice la suposición.
n-k