psuedo inverso de una matriz contraejemplo

Question

He probado $A^{\dagger}A = I$ para un $m$ por $n$ matriz con $m\geq n$ y $\text{rank}(A) = n$ Estoy intentando encontrar un contraejemplo que demuestre que $AA^{\dagger} \not= I$ pero fue en vano. El único que tengo es la matriz 0, pero supongo que es trivial

Answer 1

En primer lugar, lo que has dicho no es cierto, ya que si $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$ entonces $A^\dagger = A^T$ y $$A^\dagger A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$ Sea $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$$ entonces $A^\dagger = A^T$ y $A^\dagger A = I$ pero $$AA^\dagger = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$