Teorema. Sea $c(g)$ sea el número mínimo de cubos tal que la frontera de alguna configuración de $c(g)$ cubos es un género $g$ superficie. Entonces $c(g)/g \to 2$ como $g \to \infty$ .
Prueba. Escribimos $\chi(X)$ para la característica de Euler compactamente soportada de $X$ es decir,
$\chi(X) = \sum (-1)^i \dim H^i_c(X, \mathbb{Q})$ .
Obsérvese que no se trata de un invariante de homotopía: la característica de Euler compactamente soportada de $\mathbb{R}^n$ es $(-1)^n$ . Sin embargo, tiene la propiedad de que para descomposiciones de uniones finitas disjuntas razonables, $X = \coprod X_i$ tenemos $\chi(X) = \sum \chi(X_i)$ .
Sea $H_g$ sea un género cerrado $g$ mango-cuerpo. Entonces $$\chi(H_g) = 1-g.$$
Por otra parte, dejemos que $K$ sea una configuración de cubos. Escribimos $K^0, K^1, K^2, K^3$ para los conjuntos de vértices, aristas, cuadrados y cubos, respectivamente, y $k^0, k^1, k^2, k^3$ por sus cardinalidades. Entonces
$$\chi(K) = k^0 - k^1 + k^2 - k^3$$
Contaremos $k^0, k^1, k^2, k^3$ mirando al interior del $2 \times 2$ cubo alrededor de cada vértice. Es decir, colindando con algún vértice $v$ hay $1$ vértice, $6$ bordes, $12$ caras, y $8$ cubos. Más concretamente, cada $i$ -cara dimensional colinda $2^i$ vértices. Escribimos $K_v$ la configuración localizada en $v$ escribimos $K^i_v$ para el conjunto de $i$ -caras dimensionales que colindan con el vértice $v$ y $k^i_v$ por su cardinalidad. Así:
$$\chi(K) = \sum_{v \in \mathbb{Z}^3} \sum_{i=0}^3 (-2)^{-i} \cdot k^i_v $$
por lo que estimamos
$$\frac{\chi(K)}{k^3} = \frac{\sum_{v \in \mathbb{Z}^3} \sum_{i=0}^3 (-2)^{-i} \cdot k^i_v }{\sum_{v \in \mathbb{Z}^3} 2^{-3} \cdot k^3_v } \ge \min_{v \in \mathbb{Z}^3} \sum_i \frac{(-2)^{-i} \cdot k^i_v }{2^{-3} \cdot k^3_v }$$
La desigualdad anterior proviene del siguiente hecho: una media (ponderada) es mayor que el término mínimo que se está promediando. Así, para cualquier $a_i, b_i$ con $b_i > 0$ tenemos
$$\frac{\sum_i a_i}{\sum_i b_i} = \sum_i \frac{a_i}{b_i} \cdot \frac{b_i}{\sum b_i} \ge \min_i \frac{a_i}{b_i}$$
Analicemos ahora las posibilidades para la cantidad de la mano derecha
$$\tau(K_v) := \frac{8}{k_v^3} \cdot \left(k_v^0 - \frac{k_v^1}{2} + \frac{k_v^2}{4} - \frac{k_v^3}{8} \right) $$
De hecho, en el $2\times 2$ alrededor de un vértice, sólo hay, hasta la simetría, 9 configuraciones posibles de cubos cuya frontera es (localmente en ese vértice) topológicamente una variedad: una para cada número de cajas distinto de 4, y para 4 cajas, el cuadrado y la configuración trípode donde, si digamos $v = (0,0,0)$ los cubos son los que tienen coordenadas más negativas $(-1,-1,-1)$ , $(-1, -1, 0)$ , $(-1, 0, -1)$ y $(0, -1, -1)$ . Obsérvese que la vecindad de cada punto en el interior de un sólido muy poroso es una configuración trípode.
Queda por calcular en cada uno de estos casos la cantidad anterior. Por ejemplo, en la configuración $C_1$ cuando hay un cubo, hay un vértice contiguo al central, tres aristas, tres caras y un cubo. Así pues, esto contribuye
$$ \tau(C_1) = \frac{8}{1} \cdot \left(1 - \frac{3}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{8} \right) = 1$$
Tabulamos los casos restantes:
$$ \tau(C_2) = \frac{8}{2} \cdot \left(1 - \frac{4}{2} + \frac{5}{4} - \frac{2}{8} \right) = 0$$
$$ \tau(C_3) = \frac{8}{3} \cdot \left(1 - \frac{5}{2} + \frac{7}{4} - \frac{3}{8} \right) = -\frac{1}{3}$$
$$ \tau(C_4) = \frac{8}{4} \cdot \left(1 - \frac{5}{2} + \frac{8}{4} - \frac{4}{8} \right) = 0$$
$$ \tau(C_4') = \frac{8}{4} \cdot \left(1 - \frac{6}{2} + \frac{9}{4} - \frac{4}{8} \right) = -\frac{1}{2}$$
$$ \tau(C_5) = \frac{8}{5} \cdot \left(1 - \frac{6}{2} + \frac{10}{4} - \frac{5}{8} \right) = -\frac{1}{5}$$
$$ \tau(C_6) = \frac{8}{6} \cdot \left(1 - \frac{6}{2} + \frac{11}{4} - \frac{6}{8} \right) = 0$$
$$ \tau(C_7) = \frac{8}{7} \cdot \left(1 - \frac{6}{2} + \frac{12}{4} - \frac{7}{8} \right) = \frac{1}{7}$$
$$ \tau(C_8) = \frac{8}{8} \cdot \left(1 - \frac{6}{2} + \frac{12}{4} - \frac{8}{8} \right) = 0$$
Toma, $C_4'$ es la configuración del trípode. Concluimos que
$$\frac{1-g(K)}{\# K^3} = \frac{\chi(K)}{\# K^3} \ge -\frac{1}{2}$$
de ahí $\# K^3 \ge 2g(K) - 2$ .
Por otra parte, para cualquier familia de configuraciones en la que la fracción de $v$ con $K_v \sim C_4'$ -- es decir, la probabilidad de que (la vecindad de un cubo dado sea un sólido muy poroso) tienda a 1, las estimaciones anteriores son nítidas y $\# K^3 /g(K) \to 2$ .
(Un cálculo explícito para el cubo muy poroso aparece en los comentarios anteriores). $\blacksquare$
