comparación de la gaussiana con el estadístico de orden de la gaussiana

Question

Me gustaría calcular la probabilidad de $\mathbb{P}[Y > max(X_i)], Y\sim N(0, 1), X_i \sim N(0, \sigma_i)$

Todas las variables aleatorias tienen media cero, pero las varianzas son diferentes.

Mis gestiones hasta ahora han sido infructuosas. Intenté buscar eventos $A_i = P(Y>X_i)$ y sus intersecciones y uniones. Pero eso no funcionó.

Luego di un paso atrás e intenté buscar resultados relacionados en Internet. Si el $X_i$ fuera IID, se estaría comparando Y con el estadístico de orden n-ésimo de una variable aleatoria normal. Esta pregunta parece relacionada: https://stats.stackexchange.com/questions/9001/approximate-order-statistics-for-normal-random-variables Parece como si, incluso para el caso simplificado, no existiera una solución de forma cerrada para la estadística de orden.

¿Me estoy perdiendo algún truco? ¿Es posible calcularlo de forma cerrada?

Answer 1

Si todas las variables aleatorias $Y,X_1,\dots,X_n$ son independientes, entonces $$P(Y>\max_iX_i)=\int_{-\infty}^\infty P(Y\in dy)P(\max_1^nX_i<y) \\ =\int_{-\infty}^\infty P(Y\in dy)\prod_1^n P(X_i<y) \\ =\int_{-\infty}^\infty dy\, \varphi(y)\prod_1^n \Phi(y/\sigma_i), $$ donde $\Phi$ y $\varphi$ son la cdf y la pdf normal estándar, respectivamente.

Mathematica no puede hacer nada con esta última integral incluso cuando $n=2$ y $\sigma_1=\sigma_2$ . Por lo tanto, es muy poco probable que la probabilidad $P(Y>\max_iX_i)$ puede calcularse de forma cerrada en general.

Sin embargo, cuando $\sigma_1=\cdots=\sigma_n=1$ entonces la integral es igual a $\frac1{n+1}$ que puede obtenerse fácilmente mediante la sustitución $u=\Phi(y)$ . El mismo resultado es también obvio por simetría, porque entonces las variables aleatorias $Y,X_1,\dots,X_n$ están idénticamente distribuidos y, por tanto, son intercambiables.