Para intuir el teorema de la doble suspensión, puedes consultar tres páginas con muchas imágenes en Notas de Ferry (a partir de la p. 166, en el capítulo 26). Ofrece un esbozo de demostración en el caso de una esfera homológica concreta, aquella para la que Edwards demostró el teorema por primera vez.
El teorema de la doble suspensión se reduce a demostrar que un cierto no-manifold (a saber, la suspensión simple sobre una esfera de homología) se convierte en una manifold cuando se multiplica por $\Bbb R$ . Cuando Milnor conjeturó el teorema de la doble suspensión a principios de los años 60, debió de ser consciente de la existencia de otros no-manifolds con esta propiedad (descubiertos antes por Bing). Es una suerte que también existan en una dimensión inferior, para que sea más fácil visualizar lo que ocurre. Uno de estos ejemplos es $(S^3/W)\times\Bbb R\cong S^3\times\Bbb R$ donde $W$ es el continuo de Whitehead, y hay una construcción bastante explícita de este homeomorfismo en el capítulo 4 de Ferry (p.15).
Añadido más tarde: Otro ejemplo $(M/D)\times\Bbb R\cong M\times\Bbb R$ donde $D$ es una copia salvaje del $n$ -disco contenido en el interior del colector $M$ . El caso $n=2$ se utiliza en realidad la prueba antes mencionada del teorema de la doble suspensión en las notas de Ferry, pero no se demuestra allí; una prueba del caso $n=1$ con algunas imágenes en el Libro Daverman-Venema Sección 2.6.
Para abordar la cuestión específica sobre los vecindarios, la estrella abierta (en la triangulación original de doble suspensión) de cualquier vértice en el círculo de suspensión es homeomorfa a $\Bbb R^5$ $-$ al menos en el caso de una esfera homológica concreta, la frontera de la variedad de Mazur $W$ . En efecto, la estrella cerrada de este vértice es la suspensión sobre $cone(\partial W)$ . Como se explica en las notas de Ferry, $cone(\partial W)\times\Bbb R$ es homeomorfo a $W\times\Bbb R$ . Por lo tanto, la estrella abierta del vértice es homeomorfa a $(W\setminus\partial W)\times\Bbb R$ . Este último puede identificarse con el interior de $W\times I$ . Pero es fácil de ver que $W\times I$ es homeomorfo al $5$ -ball. Así que su interior es homeomorfo a $\Bbb R^5$ .
