¿Cuál es el periodo de un péndulo físico sin utilizar la aproximación del ángulo pequeño?

Question

¿Cuál es la expresión para el período de un péndulo físico sin el $\sin\theta\approx\theta$ es decir, un péndulo descrito por esta ecuación: $$ mgd\sin(\theta)=-I\ddot\theta $$

Motivación de mi pregunta:

Lo pregunto porque tuve una tarea en la que tenía que medir el periodo de oscilación de un péndulo físico y siempre teníamos que soltarlo precisamente desde el mismo ángulo. Así que me pregunto si esa precaución es irrelevante porque me parece que el error de medición y el error creado por ignorar el arrastre del aire son más significativos que los que surgirían por no preocuparse de ser preciso sobre el ángulo inicial, siempre que sea menor de unos 30°. ¿Estoy en lo cierto o no?

Answer 1

A veces, una buena cifra vale más que mil ecuaciones :)

Integré numéricamente la siguiente ecuación de movimiento para un péndulo físico:

$$ I\ddot{\theta} + mgL\sin(\theta) + \frac12\mathrm{sgn}({\dot{\theta}})L\rho_{\mathrm{air}}C_DS(L\dot{\theta})^2 + \zeta\dot{\theta} + \gamma\theta = 0 $$

con $\mathrm{sgn()}$ el función signo . El segundo término de esta ecuación es el par ejercido por la gravedad, el tercer término se debe a la resistencia del aire (que aquí se supone que sólo actúa sobre la bobina), el cuarto término se debe a la fricción en el punto de fijación y el quinto término es un efecto de resistencia lineal causado por la simple flexión de la cuerda (por lo tanto, estoy suponiendo que el péndulo se construyó con una cuerda).

Determiné la progresión del período del péndulo simplemente diferenciando los pasos por cero, multiplicado por 2. Utilicé los siguientes valores en los cálculos (que me parecen bastante razonables):

• $I$ momento de inercia de la masa del sistema compuesto ( $mL^2 + 0.2$ )
• $m$ masa de la bola (1 kg)
• $g$ aceleración gravitatoria a nivel del mar (9,80665 m/s) 2 )
• $L$ Longitud del péndulo (1 m)
• $\rho_{\mathrm{air}}$ densidad del aire a nivel del mar (1,225 kg/m 3 )
• $C_D$ : Coeficiente de resistencia combinado (bobina esférica+cuerda, 0,5)
• $S$ superficie frontal (0,2 m 2 )
• $\gamma$ constante del muelle (0,05)
• $\zeta$ relación de amortiguación (0,005)

Normalicé los períodos así determinados, dividiéndolos por el período que se deduce de la teoría linealizada para un péndulo compuesto (véase la wiki , $T=2\pi\sqrt{I/mgL}$ ), y trazamos los resultados para tres casos:

1. sin fricción, sin resistencia del aire
2. sólo fricción
3. fricción + resistencia del aire

para cada caso, utilicé tres ángulos iniciales de partida:

1. $\theta_0 = 1^\circ$
2. $\theta_0 = 15\circ$
3. $\theta_0 = 30^\circ$

Aquí están los resultados:

Así que, en conclusión:

• En efecto, los ángulos grandes inducen a error cuando se comparan con las fórmulas de aproximación. Pero en realidad no mucho; para el 30 $^\circ$ el error es del orden del ~2%. Habría que aumentarlo a $73^\circ$ para alcanzar el 10% de error.
• El error de gran ángulo se ve afectado por la amortiguación torsional por una disminución general de la frecuencia (esto no debería sorprender si conoces tu teoría linealizada lo suficientemente bien) y una disminución gradual
• Pero es el arrastre del aire lo que realmente lo estropea todo :) La resistencia del aire hará que las mediciones sean mucho más difíciles, ya que el periodo tiene una rápida tasa de cambio directamente después de soltar el bob, y cuando sus efectos finalmente se desvanecen, la amplitud del movimiento (no se muestra aquí) es demasiado pequeña para medir con precisión.

Así que yo diría que tienes razón: aunque el ángulo inicial importa (que es lo que creo que el ejercicio pretendía enseñarte), no importa tanto como despreciar la resistencia del aire. Sólo empieza a importar cuando repites el experimento en una cámara de vacío.

Answer 2

Para grandes amplitudes, el periodo se corrige por un factor de $K(\sin(\theta/2))$ donde $K$ es la integral elíptica completa del primer tipo. Para la mayoría de las aplicaciones, basta con tomar los primeros términos de la serie de Taylor de $K$ .

La disipación puede ser un problema. Dependiendo de cómo esté construido el péndulo, puede no ser cierto que la disipación esté dominada por la resistencia del aire. Es posible que el principal mecanismo de disipación sea la fricción mecánica (si está colgado de un cojinete) o la transmisión de vibraciones a través de una cuerda (si está colgado de una cuerda). Si está dominado por el arrastre del aire, entonces la fuerza de arrastre es probablemente proporcional a $v^2$ aunque la gente suele modelar este tipo de cosas con una fuerza proporcional a $v$ que produce un decaimiento exponencial del movimiento.

Answer 3

Esto se explica bastante bien en lo siguiente Simulación con Mathematica En general, para grandes $\theta$ la frecuencia pasa a ser función de la amplitud y se produce la no linealidad. Además, el gráfico del espacio de fase se distorsiona.

El siguiente error en ángulo pequeño aprox es mantener hasta $\theta^3 $ lo que sugiere aproximadamente correcciones de orden $\theta^2/3!$ en frecuencia. La resistencia del aire es proporcional a $v=\omega L$ Por lo tanto, si el $\omega$ es lo suficientemente pequeño como para no tener en cuenta los efectos de la resistencia del aire, etc.

Una comparación ad hoc da cuál es más importante