Integral de la normal acumulativa

Question

Sea $$\Phi(x):=\int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left({-\dfrac{\omega^2}{2}}\right) d\omega.$$

Pregunta: ¿para qué valores de $a$ , $b$ y para qué opciones de $f(x)$ ¿tendría la siguiente integral una forma cerrada?

$$\int_a^b \Phi(f(x)) dx$$

Answer 1

$f=\Phi^{-1}(g(x))$ para cualquier función $g$ con una forma cerrada que tome valores entre 0 y 1 funcionará.

O utilice la integración por partes para obtener

$$b\Phi\bigl(f(b)\bigr)-a\Phi\bigl(f(a)\bigr)-\int_a^b x f'(x) \phi\bigl(f(x)\bigr) dx,$$

lo que sugiere que tu problema se simplifica a encontrar valores tales que la suma de los dos primeros términos tenga una solución de forma cerrada, por ejemplo, si $f(b)=f(a)=0$ .