suma de variables aleatorias Chi-cuadrado no centrales

Question

Necesito encontrar la distribución de la variable aleatoria $$Y=\sum_{i=1}^{n}(X_i)^2$$ donde $X_i\sim{\cal{N}}(\mu_i,\sigma^2_i)$ y todos $X_i$ s son independientes. Sé que es posible encontrar primero el producto de todas las funciones generadoras de momentos para $X_i$ s, y luego transformar de nuevo para obtener $Y$ de la distribución. Sin embargo, me pregunto si existe una forma general para $Y$ como en el caso de la gaussiana: sabemos que la suma de gaussianas independientes sigue siendo una gaussiana y, por tanto, sólo necesitamos conocer la media sumada y la varianza sumada.

¿Qué tal todos $\sigma^2_i=\sigma^2$ ? ¿Será esta condición una solución general?

Answer 1

Como ha señalado Glen_b en los comentarios, si las varianzas son todas iguales, se obtiene una chi-cuadrado no central escalada.

Si no, existe el concepto de distribución chi-cuadrado generalizada es decir $x^T A x$ para $x \sim N(\mu, \Sigma)$ y $A$ arreglado. En este caso, se tiene el caso especial de diagonal $\Sigma$ ( $\Sigma_{ii} = \sigma_i^2$ ), y $A = I$ .

Se ha trabajado un poco en la computación de cosas con esta distribución:

• Imhof (1961) y Davies (1980) invertir numéricamente la función característica.
• Sheil y O'Muircheartaigh (1977) escribir la distribución como una suma infinita de variables centrales chi-cuadrado.
• Kuonen (1999) da una aproximación de punto de silla a la pdf/cdf.
• Liu, Tang y Zhang (2009) aproximarla con una distribución chi-cuadrado no central basada en la correspondencia cumulante.

También se puede escribir como una combinación lineal de variables chi-cuadrado independientes no centrales $Y = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \left( \frac{X_i^2}{\sigma_i^2} \right)$ en cuyo caso:

• Castaño-Martínez y López-Blázquez (2005) dan una expansión de Laguerre para el pdf/cdf.

Bausch (2013) ofrece un algoritmo más eficiente desde el punto de vista computacional para la combinación lineal de chi-cuadrados centrales; su trabajo podría ser extensible a chi-cuadrados no centrales, y podría encontrar algunas indicaciones interesantes en la sección de trabajos relacionados.