$f=\text{ker}(g)$ para una sucesión exacta corta en una categoría abeliana.

Question

Soy un aficionado a la teoría de categorías y me he atascado en lo que debería ser un ejercicio sencillo.

Una secuencia exacta corta en una categoría (abeliana) es una secuencia de morfismos:

$$ 0\rightarrow A\xrightarrow{f}B\xrightarrow{g}C\rightarrow0 $$

tal que $\text{ker}(f)=0$$ \text{im}(f)=\text{ker}(g)$ et $\text{im}(g)=0$ .

Quiero demostrar que para tal secuencia, $f=\text{ker}(g)$ .

La forma obvia de proceder es demostrar que $f$ satisface la propiedad universal del núcleo, y luego apelar a la unicidad.

Para ello, primero debo demostrar que $g\circ f=0$ y luego demostrar que dado un morfismo $e:A'\to B$ con $g\circ e=0$ existe un morfismo único $e':A'\to A$ tal que $e=f\circ e'$ .

He podido utilizar la factorización epi-mono que nos da la abelianidad para demostrar que $g\circ f=0$ pero no he podido definir el mapa necesario. Cualquier sugerencia o ayuda será muy apreciada.

EDITAR:

Gracias al comentario de D. Brogan, he podido avanzar un poco más.

Utilizando la definición categórica de imagen y el hecho de que la imagen y la coimagen son isomorfas en una categoría abeliana, tenemos: $$ \text{im}(f)=\text{ker}(\text{coker}(f))\cong\text{coker}(\text{ker}(f))=\text{coker(0)} $$ Así que bastará con demostrar que $\text{coker}(0)=f$ . He intentado apelar a la propiedad universal de los cokernels para hacerlo, pero no he podido concluirlo.

Answer 1

$f$ es mónico (ya que $\ker(f) = 0$ ) y esto implica $f = \text{im}(f)$ (ya que $f = \ker(\text{coker}(f))$ )

Answer 2

Hay algo un poco sutil aquí de lo que no me di cuenta cuando hice mi comentario, así que lo desarrollaré ahora mismo por mi propio bien. Al definir la imagen de un morfismo $f:A\to B$ en una categoría abeliana, solemos decir $\mathrm{im}(f)$ se define como $\mathrm{coker}(\mathrm{ker}(f))$ o $\mathrm{ker}(\mathrm{coker}(f))$ y dejamos que los ejercicios demuestren que estas dos definiciones son iguales. El caso es que cuando decimos $\mathrm{ker}(f)$ por ejemplo, no nos referimos a un objeto sino a otro morfismo $K\to A$ con una propiedad universal. Del mismo modo $\mathrm{coker}(f)$ es en realidad un morfismo $B\to C.$ Entonces, ¿qué queremos decir con $\mathrm{coker}(\mathrm{ker}(f))\cong \mathrm{ker}(\mathrm{coker}(f))?$ Dado que uno es un morfismo de $A$ y el otro es un morfismo hacia $B,$ esto no está claro de inmediato. La respuesta es que los objetos en cuestión son isomorfos y los morfismos son los inducidos por la propiedad universal del otro.

Por ejemplo, denotemos el objeto $\mathrm{coker}(\mathrm{ker}(f))$ por $C$ y el objeto $\mathrm{ker}(\mathrm{coker}(f))$ por $K.$ Entonces $A\to C$ es el morfismo unido al objeto $C.$ Por la propiedad universal del cokernal existe un mapa único $C\to B$ desde $\mathrm{\ker}(f)\to A\to B$ es cero. Este mapa $C\to B$ es isomorfo a $K\to B.$ Del mismo modo podemos obtener un mapa $A\to K$ que es isomorfo a $A\to C.$

Bien, ahora que todo eso está fuera del camino, esto es lo que hay que hacer. Desde $\mathrm{ker}(f)=0,$ la identidad $1_A:A\to A$ cumple la propiedad universal de $\mathrm{coker}(\mathrm{ker}(f))=\mathrm{coker(0\to A)}.$ Desde $0\to A\to B$ es cero, por la propiedad universal del cokernal, existe un mapa único $A\to B$ haciendo que el diagrama conmute. Pero esto es sólo $f:A\to B$ ya que nuestro cokernal es sólo la identidad. Como se indica en el párrafo central, después de componer con un isomorfismo esto es exactamente el mapa $\mathrm{ker}(\mathrm{coker}(f))\to B.$ Por lo tanto $f=\mathrm{im}(f).$