Resolver $z^4+1=0$ algebraicamente

Question

Conozco el resultado y cómo resolverlo utilizando la trigonometría y De Moivre.

Sin embargo, dado que el número complejo $z$ puede reescribirse como $a+bi$ ¿Cómo puedo resolverlo algebraicamente?

Answer 1

¿No escribirías simplemente $$z^4+1=0\\ \Updownarrow\\ w^2=-1,z^2=w$$ Y concluir que $z^2=w=\pm i$ . Entonces con $z=a+bi$ la ecuación $z^2=i$ se convierte en $$(a+bi)^2=i\\ \Updownarrow\\ a^2-b^2+2abi=i$$ lleva a $a^2-b^2=0$ y por lo tanto $a=\pm b$ y luego $2abi=i$ nos da $ab=\frac{1}{2}$ . Así que, o bien $a=b=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$ o $a=-b$ lo que da lugar a un resultado no real $a,b$ lo cual es absurdo.

Entonces puedes repetir la estrategia anterior para el caso $z^2=-i$ para obtener las otras dos soluciones.

Answer 2

Inserción de $z = a + bi$ obtenemos $$a^4 - 6a^2b^2 + b^4 + 1 + ab(a - b)(a+b)i = 0$$ que se convierte en dos ecuaciones reales $$a^4 - 6a^2b^2 + b^4 + 1 = 0 \quad \wedge\quad ab(a-b)(a+b) = 0$$ El segundo ya está factorizado para ti, dándote cuatro casos específicos con los que trabajar, dos sin soluciones reales. El primero puede verse como una ecuación cuadrática en $a^2$ o $b^2$ dependiendo del caso que se elija de la segunda ecuación.

Answer 3

El método estándar es la forma polar, pero hay otro truco. Un poco de reescritura creativa da:

$$z^4 + 1 = (z^2+1)^2 - 2z^2 = (z^2 + z\sqrt 2 + 1)(z^2 - z\sqrt 2 +1)$$

y puedes reducir el problema a la resolución de dos ecuaciones cuadráticas.

Answer 4

$$z^4 + 1 = 0 \Rightarrow z^4 + 2z^2 + 1 - 2z^2 = 0$$

$$\Rightarrow (z^2 + 1)^2 -(\sqrt{2}z)^2 = 0$$

$$\Rightarrow (z^2 - \sqrt{2} z + 1)( z^2 + \sqrt{2}z + 1 ) = 0$$

utilice $$ax^2 + bx + c = 0 \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Answer 5

Pistas:

• $z^4+1=(z^2+1)^2-2z^2=(z^2+\sqrt2z+1)(z^2-\sqrt2z+1)$
• $z^2\pm\sqrt2z+1=(z\pm\tfrac12\sqrt2)^2+\tfrac12$
• $u^2+a^2=(u+\mathrm ia)(u-\mathrm ia)$