Una base para una forma normal de Jordan

Question

En mi tarea tengo que encontrar una forma normal de Jordan para esta matriz:

Gracias por tu ayuda, y siento que la pregunta se pronuncie con Latex.

Answer 1

El proceso se basa en una comprensión clara de los vectores propios generalizados. Dado que sólo se trata de un bloque de Jordan, no sólo la matriz $A-\lambda I$ es nilpotente, pero también es similar a $N$ . En otras palabras, el espacio nulo de $(A-\lambda I)^i$ aumenta en una dimensión por cada aumento de la potencia, hasta que se convierte en todo el $\mathbb R^3$ es decir $(A-\lambda I)^3=0$ la matriz cero. $$ 1=\dim\ker(A-\lambda I)\lneq \dim\ker(A-\lambda I)^2\lneq\dim\ker(A-\lambda I)^3=3 $$ Para obtener la forma canónica, hay que partir de los vectores propios "más generales":

1. elige un vector $f_3$ tal que $(A-\lambda I)^3f_3=0$ pero $(A-\lambda I)^2f_3\neq 0$ por lo que es cualquier vector tal que $(A-\lambda I)^2f_3\neq 0$ .
2. A continuación $f_2=(A-\lambda I)f_3$ et $f_2\neq 0$ desde $(A-\lambda I)^2f_3$ y por lo tanto $(A-\lambda I)^2f_3\neq 0$ . Esta vez ves que $$ Af_3=\lambda f_3+f_2 $$ y también que $(A-\lambda I)f_2\neq 0$ desde $(A-\lambda I)f_2=(A-\lambda I)^2f_3$ .
3. Por último $f_1=(A-\lambda I)f_2$ , $f_1\neq 0$ de 2., y luego: $$ Af_2=\lambda f_2+f_1 $$ Ahora $f_1$ es un vector propio no general de $A$ desde $$(A-\lambda I)f_1=(A-\lambda I)^2f_2=(A-\lambda I)^3f_3=0$$ o $$ Af_1=\lambda f_1 $$

Resumiendo: $$ A[f_1,f_2,f_3]=[\lambda f_1,\lambda f_2+f_1,\lambda f_3+f_2]=\begin{bmatrix}\lambda& 1& 0\\ 0 & \lambda& 1\\ 0 &0&\lambda\end{bmatrix}[f_1,f_2,f_3] $$

Answer 2

Deje $N = A - I = \pmatrix{0&-3&3\\-2&-7&13\\-1&-4&7}$ reducimos las filas de esta matriz y comprobamos que tiene rango 2 y que el espacio nulo está comprendido por $u = \pmatrix{3\\-1\\0}.$ ahora fila reducir $N^2$ y encontramos que su rango es $1$ por lo que el espacio nulo de $N^2$ tiene dimensión $2.$ podemos resolver $Nv = u$ encontrar $v = \pmatrix{3\\-1\\0}.$ desde $N^3$ es la matriz cero podemos resolver $Nw = v$ encontrar $w = \pmatrix{7\\0\\1.}$

ahora tenemos la cadena jordan $B = \{u, v, w\}$ que abarca $R^3$ y satisface $$Au = u, Av = v + u, Aw = w + v$$ con respecto a la base $B, A$ tiene la representación $\pmatrix{1&1&0\\0&1&1\\0&0&1}.$