Evalúe $\int_{(x,y)\in \Bbb R^2,\ x^2+y^2=4}\ (3x-4x^2y)dx+(4x^2y+2y)dy$

Question

Sea $C$ sea la circunferencia con centro en el origen y radio $2$ . Calcular la integral de línea: $$\int_C(3x-4x^2y)dx+(4x^2y+2y)dy$$

Creo que el valor es $32\pi$ . Pero, la clave de respuesta dada da el valor como $16\pi$ .

¿Me equivoco en algo?

He utilizado el teorema de Green para evaluar la integral.

¿Alguna pista sobre dónde está el error? Gracias de antemano.

Answer 1

Utilizando el teorema de Green $$ \oint_C(3x−4x^2y)dx+(4x^2y+2y)dy=\int_S(8xy+4x^2)dxdy=\int_S(8r^2\sin(\theta)\cos(\theta)+4r^2\cos^2(\theta))rd\theta, $$ donde se utilizaron coordenadas polares y $S$ denota el disco de radio 2. Calculando la última integral tenemos $$ \int_S(8r^3\sin(\theta)\cos(\theta)+4r^3\cos^2(\theta))d\theta=\int_0^{2\pi} \Big(32\sin(\theta)\cos(\theta)+16\cos^2(\theta)\Big{)}d\theta=16\pi. $$