Problema de la integral impropia de Riemann (Introducción a la teoría de la integración)

Question

Para esta pregunta soy consciente de que puedo integrarla normalmente y obtener una solución, pero ¿hay alguna forma específica necesaria para la integral impropia de reimann? ¿La divido con límites de -1 a 0 y de 0 a 2? Además, creo que debería ser convergente.

Answer 1

Si utiliza el widget Calculadora de integrales definidas de Wolfram Alpha (es gratuito, puedes encontrarlo si tecleas en Google: calculadora integral definida, Wolfram alpha), con Integrar: 1/x^2 dx y De: x= -1 a 2 obtendrá el mensaje la integral no converge y una representación visual de la integral. Te digo esto, como un recurso que puedes freedon de uso. También, puedes encontrar muchos ejemplos de tu tipo de integral, es una integral tal que el integrando es discontinuo en un punto intermedio $c$ . Si escribe las palabras correctas, obtendrá ejemplos correctos (pregúntese en su mente qué palabras puede escribir en una búsqueda en un buscador de Internet).

Como usted ha dicho, podemos dividir $\int_{-1}^{2}=\int_{-1}^0+\int_{0}^2$ y utilizar los límites para resolver la cuestión, pero has perdido la herramienta principal, el criterio que utilizas para resolver tu problema. ¿El criterio de la sección Discontinuos Integrand Parte 3 que se muestra en Ejemplo 7 de http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/ImproperIntegrals.aspx

Criterio: Un tipo de integral como la de tu problema es convergente es que ambas integrales, que has partido, son convergentes (por tanto si una falla, la integral es impropia).

Ya que, por ejemplo este $\int_{0}^2\frac{1}{x^2}dx=\lim_{t\to0^+}\int_{t}^2\frac{1}{x^2}dx=\lim_{t\to 0^+}\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{t}\right)=\infty$ entonces puedes afirmar que usando el criterio citado, tu integral $\int_{-1}^2\frac{1}{x^2}dx$ no converge.

Espero que te sea útil, también que escribas tu intento de solución la próxima vez, enco Lo siento por mi inglés.

Referencias:

Calculadora de integrales definidas de Wolfram Alpha, http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=8ab70731b1553f17c11a3bbc87e0b605

Notas sobre integrales impropias: https://cims.nyu.edu/~kiryl/Calculus/Section_6.6--Improper_Integrals/Improper_Integrals.pdf y http://www.math.wisc.edu/~park/Fall2011/integration/Improper%20Integral.pdf