Una integral múltiple

Question

$$\iiint'_{\mathbb{R}^3} \frac{du \; dv \; dw}{|u^3+v^3+w^3|^{\frac{2}{3}}}$$ where the $'$ integration constraint is that only $u,v,w$ for which $|(n^3+v^3)(u^3+w^3)(v^3+w^3)| \leq 1 $ son tomadas en cuenta. Es posible determinar si esta integral converge o no?

¿Crees que en virtud de la transformación de $x:=u^3+v^3,y:=u^3+w^3$ etc.. incluso se podría calcular el valor de la integral ?

Answer 1

Primero de todo, la integración de la región de aspecto desagradable:

Como usted sugiere, vamos $x=u^3+v^3$, $y=u^3+w^3$ y $z=v^3+w^3$. Entonces

$$ \mathrm{d} u \,\, \mathrm{d} v \,\, \mathrm{d} w = \frac{4 \mathrm{d} x \,\, \mathrm{d} y \,\, \mathrm{d} z }{ ( (x+y-z)^2 (x+z-y)^2 (y+z-x)^2 )^{1/3}} $$ La región se convierte en $\vert x y z \vert < 1$, y la integral se convierte en

$$ \int_{( x \cdot y \cdot z )^2 < 1} \frac{4 \mathrm{d} x \,\, \mathrm{d} y \,\, \mathrm{d} z }{ ( 4(x+y+z)^2 (x+y-z)^2 (x+z-y)^2 (y+z-x)^2 )^{1/3}} $$

De esta forma parece que la integral sería difieren en el origen, ya que el integrando como las escalas de medida $t^{-8/3}$ si todas las coordenadas se ajustaron por el factor de escala $t$.

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Añadido: El integrando, así como de la región de integración, es simétrica con respecto a cada uno de $x\to-x$, $y \to -y$, $z \to -z$ así como cualquier permutaciones de $(x, y, z)$. Por lo tanto podemos restringir la integración a $0 < x < y < z$ por el bien de la determinación de la convergencia. Considere la posibilidad de $$ \int_0^\infty \mathrm{d} x \int_x^\infty \mathrm{d} y \int_y^\infty \mathrm{d} z \frac{\chi_{x y z < 1}}{{ ( (x+y+z)^2 (x+y-z)^2 (x+z-y)^2 (y+z-x)^2 )^{1/3}} } $$ En esta región $x y z < 1$ implica $0<x<1 \land x < y < \frac{1}{\sqrt{x}} \land y < z < \frac{1}{x y}$:

$$ \int_0^1 \mathrm{d} x \int_x^{\frac{1}{\sqrt{x}}} \mathrm{d} y \int_y^{\frac{1}{x, y}} \mathrm{d} z \frac{1}{{ ( (x+y+z)^2 (x+y-z)^2 (x+z-y)^2 (y+z-x)^2 )^{1/3}} } $$ El único factor en el denominador de la cual podrían desaparecer de aquí es $(x+y-z)^2$. Esto ocurre en las siguientes sub-región: $$ 0 < x < \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \de la tierra x < y < -\frac{x}{2} + \sqrt{\frac{1}{x} + \frac{x^2}{4}} $$

Numéricamente, la integral no parecen divergir, pero la prueba de escapar de mí.