¿Qué determina la existencia de una dimensión física, como en el análisis dimensional?

Question

El análisis dimensional en física se basa en la idea de que sólo pueden sumarse, restarse, igualarse o compararse cantidades conmensurables. Las cinco dimensiones que aparecen en el análisis dimensional son: longitud, tiempo, masa, temperatura y carga eléctrica (o corriente, si lo prefiere).

Conozco bien el uso del análisis dimensional. Sin embargo, hace poco se me ocurrió que no estoy muy seguro del origen de las cinco dimensiones físicas mencionadas y de por qué son inconmensurables.

¿Qué determina entonces la existencia de una dimensión física concreta? ¿Es una cuestión empírica? Debe serlo hasta cierto punto, porque la dimensión de la carga eléctrica, por ejemplo, no era evidente antes de que se descubriera este fenómeno.

¿Es una cuestión puramente empírica? ¿Podríamos descubrir de algún modo que dos magnitudes, digamos la longitud y la masa, que se cree que son inconmensurables podrían ser de algún modo conmensurables? Parece obvio que no son conmensurables, pero no sé cómo demostrarlo.

Cabe señalar que hay magnitudes, como la energía y el par motor, que tienen la misma dimensión física, pero que superficialmente pueden parecer inconmensurables, ya que se refieren a magnitudes aparentemente diferentes. Así pues, creo que el hecho de que dos magnitudes parezcan referirse "obviamente" a fenómenos diferentes no permite concluir necesariamente que sean inconmensurables.

Answer 1

En mi opinión, el número de dimensiones físicas es una cuestión de definición y elección personal, y puede aumentar o disminuir. Maxwell, siguiendo a Gauss, creía que el número de dimensiones de las magnitudes era definitivamente tres, (temperatura no incluida) y el Electromagnetismo se definió para que esto funcionara: la ley de fuerza entre cargas era $$F=\frac{q_1q_2}{r^2},$$ por lo que la carga unitaria se definió como aquella carga que actúa sobre una carga igual con unidad de fuerza a distancia unitaria. Compárese la situación de la gravedad, en la que Newton definió $$F=\frac{Gm_1m_2}{r^2},$$ donde las unidades de masa, longitud y tiempo ya están definidas, y el coste es una nueva constante de la naturaleza, $G$ . Más tarde hicimos lo mismo en electromagnetismo, poniendo $4\pi\epsilon_0$ en el denominador, una nueva constante de la naturaleza, y definiendo la carga de forma independiente. Así se puede aumentar el número de dimensiones introduciendo nuevas constantes. Consideremos, por ejemplo, la modelización de la atmósfera. La escala de longitud horizontal es de miles de kilómetros, y la vertical, de unos pocos kilómetros. Por lo tanto, se utilizarán cuadrículas rectangulares con una altura muy pequeña en comparación con el tamaño horizontal, definiendo así diferentes unidades de distancia en la vertical y en la horizontal. Todas las ecuaciones del modelo deben coincidir en ambas dimensiones de longitud. Si necesitas la distancia entre dos cajas de cuadrícula, será en unidades horizontales, $\sqrt{\delta x^2+\delta y^2+\delta z^2/k^2}$ donde $\delta x$ , $\delta y$ y $\delta z$ son el número de cuadrículas que separan los puntos en cada dirección, y $k$ es una constante definida, distancia horizontal por unidad de distancia vertical.

A la inversa, podría ver el definido valor de la velocidad de la luz como reducción del número de dimensiones. El cambio más reciente en la definición de las unidades básicas del SI ha tenido un efecto complejo sobre el número real de dimensiones: se podría considerar que el tiempo es la única dimensión que queda, porque la velocidad de la luz, la constante de Boltzmann, la constante de Planck y la carga del electrón tienen valores definidos.

Answer 2

Para abordar otro punto de la pregunta, las unidades de ángulo no tienen que cuadrar en una ecuación, por lo que no funciona como una dimensión a efectos de comprobación. Tomemos $\omega$ (radianes por segundo). Eso no cuadra en el caso de SHM: $\omega^2=k/m$ .