La intersección de conjuntos infinitos y finitos cerrados y acotados

Question

Pregunta : Sea $(A_n)_{n=1}^{\infty}$ sea una secuencia de subconjuntos de $\mathbb R$ que sean a la vez cerradas y acotadas. Demostrar que si $\cap_{k=1}^{n}A_k \neq \emptyset$ para cada $n\in\mathbb N$ entonces $\cap_{k=1}^{\infty}A_k \neq \emptyset$ .

Prueba : Si $\cap_{k=1}^{\infty}A_k = \emptyset$ entonces para todo $x \in \cap_{k=1}^{l}A_k$ , $x \notin A_j$ donde $l \lt j$ para algunos $l,j\in \mathbb N$ . Entonces $\cap_{k=1}^{j}A_k = \emptyset$ .

¿Es correcto? Si lo es, entonces ¿cómo la propiedad de que cada $A_k$ en la prueba? ¿Supongo que sí, de alguna manera sutil, y que la prueba no es válida para conjuntos abiertos y no limitados? ¿Y contraejemplos?

Answer 1

La forma más sencilla es construir una secuencia. Para cada $n$ toma un poco $x_n \in \bigcap_{k=1}^nA_k$ que no es vacío. El teorema de Bolzano-Weierstrass dice entonces que toda sucesión acotada en $\mathbb{R}^n$ tiene una subsecuencia convergente $x_{n_k} \to x^*$ .

En $x_{n_k} \in A_1$ para todos $k$ y porque $A_1$ es cerrado (y, por tanto, contiene todos sus puntos límite), $x^*\in A_1$ . En efecto, como la intersección finita de conjuntos cerrados es siempre cerrada, $x^* \in \bigcap_{k=1}^nA_k$ y se deduce que

$$x^* \in \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=1}^n A_k = \bigcap_{k=1}^{\infty}A_k$$

Nota que la acotación de la sucesión se deduce de la acotación en cada $\bigcap_{k=1}^nA_k$ . Si queremos ser más específicos, supongamos $M_n$ es una secuencia tal que $|f(x)|\leq M_n$ en $\bigcap_{k=1}^nA_k$ entonces $M_{n}\geq M_{n+1}$ y en particular, $|f(x_k)| \leq M_k \leq M_1$ para todos $k$ .