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La intersección de conjuntos infinitos y finitos cerrados y acotados

Pregunta : Sea (An)n=1 sea una secuencia de subconjuntos de R que sean a la vez cerradas y acotadas. Demostrar que si nk=1Ak para cada nN entonces k=1Ak .

Prueba : Si k=1Ak= entonces para todo xlk=1Ak , xAj donde l<j para algunos l,jN . Entonces jk=1Ak= .

¿Es correcto? Si lo es, entonces ¿cómo la propiedad de que cada Ak en la prueba? ¿Supongo que sí, de alguna manera sutil, y que la prueba no es válida para conjuntos abiertos y no limitados? ¿Y contraejemplos?

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user153126 Puntos 1

La forma más sencilla es construir una secuencia. Para cada n toma un poco xnnk=1Ak que no es vacío. El teorema de Bolzano-Weierstrass dice entonces que toda sucesión acotada en Rn tiene una subsecuencia convergente xnkx .

En xnkA1 para todos k y porque A1 es cerrado (y, por tanto, contiene todos sus puntos límite), xA1 . En efecto, como la intersección finita de conjuntos cerrados es siempre cerrada, xnk=1Ak y se deduce que

xn=1nk=1Ak=k=1Ak

Nota que la acotación de la sucesión se deduce de la acotación en cada nk=1Ak . Si queremos ser más específicos, supongamos Mn es una secuencia tal que |f(x)|Mn en nk=1Ak entonces MnMn+1 y en particular, |f(xk)|MkM1 para todos k .

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