Dados enteros positivos $n$ y $k$ , ( $1\leqslant k\leqslant n-1$ ), y una constante real $s\in(0,1)$ estoy considerando la siguiente suma: $$\sum_{i=0}^{n-k}(-1)^i\binom{n-k}{i}(k+i)^s$$ Mi objetivo es demostrar que este sumatorio, para cualquier elección de $n$ y $k$ es negativo . ¿Alguien puede darme algunas direcciones posibles para pensar? Gracias.
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De hecho, la introducción de la condición de Hölder en la segunda parte del artículo de Lewy es un poco insatisfactoria. Hartman la eliminó 1-2 años más tarde (dependiendo de si nos fijamos en las fechas de publicación o de presentación). Su documento está en acceso abierto (tres hurras a la AMS).
He aquí un posible enfoque.
Lema. Si denotamos la función $$f(n,k):=\sum_{i=0}^{n-k}(-1)^i\binom{n-k}i(k+i)^s,$$ entonces $f(n+1,k+1)-f(n,k)=-f(n+1,k)$ .
Prueba. Considere la diferencia $f(n+1,k)-f(n,k)$ en su lugar: \begin{align} f(n+1,k)-f(n,k) &=\sum_{i=0}^{n+1-k}(-1)^i\binom{n+1-k}i(k+i)^s- \sum_{i=0}^{n-k}(-1)^i\binom{n-k}i(k+i)^s \\ &=(-1)^{n+1-k}(n+1)^s+\sum_{i=0}^{n-k}(-1)^i\binom{n-k}i \frac{i\,(k+i)^s}{n+1-k-i} \\ &=(-1)^{n+1-k}(n+1)^s+\sum_{i=0}^{n-k}(-1)^i\binom{n-k}{i-1}(k+i)^s \\ &=-(-1)^{n-k}(n+1)^s-\sum_{j=0}^{n-k-1}(-1)^j\binom{n-k}j(k+1+j)^s \\ &=-\sum_{j=0}^{n-k}(-1)^j\binom{n-k}j(k+1+j)^s \\ &=-f(n+1,k+1). \end{align} La prueba es la siguiente. $\square$
Ahora, se puede proceder con alguna inducción sobre $n$ y para todos $1\leq k<n$ . Verá, si $f(n+1,k)<0$ entonces $f(n+1,k+1)>f(n,k)$ . Se puede aportar el siguiente dato: siempre que $d<m$ , $$\sum_{i=0}^m(-1)^i\binom{m}ii^d=0.$$
A continuación, intente convencerse de que para $k$ : $$\lim_{n\rightarrow\infty}f(n,k)=0.$$ Esta afirmación y el lema (y la observación) anteriores permitirían llegar a la conclusión que deseas.
