Tenemos la fórmula habitual de inversión de Möbius f(n)=∑d∣ng(d)⟺g(n)=∑d∣nμ(d)f(n/d)
¿Tenemos (y cómo demostramos) el análogo en dos variables f(n)h(m)=∑d∣n,mg(n/d,m/d)⟺g(n,m)=∑d∣(n,m)μ(d)f(n/d)h(m/d)?
Tenemos la fórmula habitual de inversión de Möbius f(n)=∑d∣ng(d)⟺g(n)=∑d∣nμ(d)f(n/d)
¿Tenemos (y cómo demostramos) el análogo en dos variables f(n)h(m)=∑d∣n,mg(n/d,m/d)⟺g(n,m)=∑d∣(n,m)μ(d)f(n/d)h(m/d)?
Es cierto, y lo es por las mismas razones que la inversión habitual de Möbius, a saber, la relación ∑d∣nμ(d)=1n=1.
De hecho, si asume su expresión de f(n)h(m) a la izquierda, se puede deducir ∑d∣(n,m)μ(d)f(n/d)h(m/d)=∑d∣(m,n)μ(d)∑k∣(n/d,m/d)g(n/kd,m/kd)=∑m=dkbn=dkag(a,b)μ(d)=∑a|n,b|m,m/b=n/ag(a,b)∑d∣n/aμ(d)=∑a|n,b|mg(a,b)1n/a=1=m/b=g(m,n)
La inversa se deduce de los mismos cálculos y, por supuesto, es válida para tantas variables como se desee.
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