Inversión de Möbius en dos variables

Question

Tenemos la fórmula habitual de inversión de Möbius $$f(n) = \sum_{d \mid n} g(d) \Longleftrightarrow g(n) = \sum_{d \mid n} \mu(d) f(n/d)$$

¿Tenemos (y cómo demostramos) el análogo en dos variables $$f(n) h(m) = \sum_{d \mid n, m} g(n/d, m/d) \Longleftrightarrow g(n,m) = \sum_{d \mid (n,m)} \mu(d) f(n/d) h(m/d) ?$$

Answer 1

Es cierto, y lo es por las mismas razones que la inversión habitual de Möbius, a saber, la relación $$\sum_{d \mid n} \mu(d) = \mathbf{1}_{n=1}.$$

De hecho, si asume su expresión de $f(n)h(m)$ a la izquierda, se puede deducir $$\begin{align} \sum_{d \mid (n,m)} \mu(d) f(n/d) h(m/d) & = \sum_{d \mid (m,n)} \mu(d) \sum_{k \mid (n/d, m/d)} g(n/kd, m/kd) \\ & = \sum_{\substack{m = dkb \\ n = dka}} g(a,b) \mu(d) \\ & = \sum_{a|n, b|m, m/b=n/a} g(a,b) \sum_{d \mid n/a} \mu(d) \\ & = \sum_{a|n, b|m} g(a,b) \mathbf{1}_{n/a=1=m/b} \\ & = g(m,n) \end{align}$$

La inversa se deduce de los mismos cálculos y, por supuesto, es válida para tantas variables como se desee.