Problema de recuento complejo

Question

Un código tiene cinco símbolos y cada símbolo está compuesto por una letra, un número y un color. (Ej.{a,3,negro} es un símbolo)

hay $p$ cartas, $q$ números y $r$ colores para elegir.

se genera un código al azar.

El problema es encontrar el número de posibilidades de los distintos casos. Por ejemplo,

¿cuál es la probabilidad de que un código tenga tres símbolos con el mismo número y dos símbolos con el otro mismo número?

Hasta ahora lo sé:

hay $pqr$ total de símbolos posibles y $(pqr)^5$ posibles códigos.

Debería haber $\binom{q}{2}$ formas de elegir dos de esos números para que formen un símbolo y 20 formas de ordenar los dos números en un código.

Entonces, ¿la probabilidad sería $\frac{\binom{q}{2}20\times pr}{(pqr)^5}$ ???

Answer 1

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Existen $\binom q 1$ formas de elegir un número que se utilizará tres veces, $\binom {q-1}1$ formas de elegir un número que se utilizará dos veces, $\binom 5 3$ formas de elegir lugares para esos números, y luego tenemos que seleccionar letras y colores como antes, $(pr)^5$ que es un factor común con el denominador (por lo que puede anularse).

$$\dfrac{ \binom q 1~\binom {q-1}1~\binom 5 3}{q^5} ~=~\dfrac{10(q-1)}{q^4}$$