Consideremos un problema de límites mixtos $-\Delta u = f$ , $u=0$ en $ \Gamma_D$ y $\nabla u \cdot n = 0 $ en $\Gamma_N$ . Entonces la formulación débil es encontrar $u \in H^1_D = \{u \in H^1 | u = 0 \text{ on } \Gamma_D\}$ tal que $\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v = \int_\Omega f \ v $ en $\Omega$ . Eso significa que los bc de Neumann se impusieron débilmente. ¿Por qué no es posible buscar una solución en el espacio $H^1_{D,N} = \{u \in H^1 | u = 0 \text{ on } \Gamma_D\ ,\nabla u \cdot n = 0 \text{ on } \Gamma_N\}$ ?
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Se trata de una cuestión bastante técnica. A priori, no podemos hablar de $\nabla u \cdot n$ en un $H^1$ es decir, el sentido del rastreo. Si nuestro domian $\Omega$ tiene $C^2$ -podemos decir que nuestra solución débil $u \in H^1_0$ (que nos concede Lax-Milgram-Lemma) incluso vive en $H^2(\Omega)$ . Esto es Gilbarg y Trudinger Teorema 8.12. A veces se denomina teorema del desplazamiento de Friedrichs.
Entonces, se pueden definir trazas para $\nabla u$ y podemos dar sentido a la BC de Neumann.
Así que sólo elegimos $H_0^1$ como espacio de prueba y solución, ya que no se necesita ninguna otra regularidad.
Dado que los Neumann-BC se integran en la formulación débil (en nuestro caso, dado que los valores Neumann son $0$ (no aparecen), suelen denominarse BC naturales o BC que no hacen nada.
