Recuento de combinaciones vectoriales únicas en un espacio proyectivo de Hilbert

Question

Estoy trabajando en un espacio proyectivo de Hilbert y tengo $n$ vectores unitarios como base. Intento averiguar cuántas combinaciones lineales únicas se pueden hacer sumando o restando otros vectores base una sola vez.

Mi ingenuo intento fue un simple recuento: para nuestro primer vector tenemos $2*n$ opciones: $+V_i$ o $-V_i$ . Así que tenemos a medida que avanzamos: $2n*2(n-1)*...*2 = 2^n*n!$ pero esto sobre cuenta ciertamente, como $V_a+V_b$ y $-V_a-V_b$ representan el mismo vector en un espacio proyectivo. ¿Qué factor aportan estos duplicados?

Ejemplo para mayor claridad: $$n=1: V_0$$ $$n=2: V_0, V_1, V_0+V_1, -V_0+V_1$$ $$n=3: V_0, V_1, V_2, V_0+V_1, V_1+V_2, V_0+V_2,-V_0+V_1, -V_1+V_2, -V_0+V_2, V_0+V_1+V_2, -V_0+V_1+V_2,V_0-V_1+V_2,V_0+V_1-V_2$$ Algo así como $$-V_0+V_1-V_2$ es simplemente la negación del penúltimo término, así que no cuenta.

Answer 1

El coeficiente de cada vector base es uno de los siguientes $-1,0,1$ por lo que hay $3^n$ en total. Excluyendo $0$ hay $3^n-1$ elecciones. Proyectivizar significa que sólo contamos dos veces (ya que empezamos con una base), dando la respuesta $\frac12(3^n-1)$ .

Su intento sólo contó aquellos con cada coeficiente distinto de cero, y contó cada combinación $n!$ veces.