Unicidad de las soluciones de las relaciones de recurrencia lineales

Question

Entiendo que si tengo una relación de recurrencia lineal homogénea de la forma $q_n = c_1 q_{n-1} + c_2 q_{n-2} + \cdots + c_d q_{n-d}$ puedo construir el polinomio característico $p(t) = t^d - c_1 t^{d-1} - \cdots - c_{d-1} t - c_d$ y si las raíces son $r_1, \ldots, r_d$ (digamos distintos, para simplificar) Puedo estar seguro de que $q_n = k_1 r_1^n + \cdots k_d r_d^n$ es una solución para cualquier elección de coeficientes $k_i$ . Pero, ¿son estos los sólo soluciones? ¿Hay alguna forma limpia de mostrarlo?

Answer 1

Sí, se puede ver observando que el conjunto de todas las soluciones es un espacio vectorial de dimensión $d$ esto es así porque si eliges $q_1,\ldots q_d$ el resto está claramente determinado. Las soluciones $\{r_i^n\}$ son linealmente independientes (lo que puede demostrarse mediante el determinante de Vandermond, por ejemplo), por lo que generan todo el espacio.