Múltiplo entero del vector para que el ángulo esté entre $\pi/2$ y $\pi/3$

Question

Dados dos vectores $u,v\in \mathbb{R}^2$ Deseo encontrar racional $q$ por lo que el ángulo $\theta$ entre $u$ y $v+qu$ satisface $$\frac{\pi}{3}\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$$ Mi primer enfoque se inspiró en el proceso Gram-Schmidt, dejando que $k=\left\lfloor\frac{\langle u,v\rangle}{\langle v,v\rangle}\right\rfloor v$ pero no parece que salga nada de esto.

arreglar: He cambiado $k$ de entero a racional, había escrito mal originalmente

Answer 1

Sugerencia :

Para el ángulo de dos vectores $u, v$ tenemos $$\cos \theta=\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\,\|v\|}$$ y quieres $\;0\le \cos\theta\le\frac12$ .

Answer 2

En primer lugar, gire el sistema de coordenadas de forma que $u=(a,0)$ con $a>0$ . A continuación, escálelo de forma que $v=(b,\pm1)$ . (Si $u$ y $v$ son paralelas, estás hundido en cualquier caso).

Ahora quieres $0 < b+ka < \tan\frac\pi6 = \frac{1}{\sqrt 3}$ . Puede haber cero, una o múltiples integrales $k$ que satisfagan esto.

Answer 3

Dados tres vectores $u$ , $v$ y $w = v + ku \in \mathbb{R}^2$ .

Basado en el producto escalar de dos vectores se puede escribir que:

$u\cdot w = |u|\cdot|w|\cdot cos(\theta) = u_x\cdot w_x + u_y\cdot w_y$

Así que..,

$$cos(\theta) = {u_x\cdot w_x + u_y\cdot w_y\over|u|\cdot|w|}$$

Ahora, sustituyendo $w$ a $v+ku$ :

$${u_x\cdot (v_x + ku_x) + u_y\cdot (v_y+ ku_y)\over|u|\cdot|v + ku|}$$

$${u_xv_x + ku_x^2 + u_yv_y+ ku_y^2\over|u|\cdot|v + ku|}$$

A continuación, reescriba la condición sustituyendo $\theta$ por el argumento anterior:

$$cos({\pi\over3}) \leq {u_xv_x + ku_x^2 + u_yv_y+ ku_y^2\over|u|\cdot|v + ku|} \leq cos({\pi\over2})$$

Ahora puedes resolverlo y obtener k.