Demostrando que $X$ es un subgrupo de $G$

Question

Si nos dan que algunos $X\subset G $ tal que $e\in X$ y $\forall g \in G$ cosets $gX$ partición $G$ es $X$ un subgrupo de $G$ ?

No sé muy bien qué es lo que tengo que hacer. Si $X$ no fuera un subgrupo, entonces no se puede decir que los cosets de $X$ son una clase de equivalencia de $X$ ya que necesitarías inversos y cierre (simetría, transitividad, reflexividad).

¿Alguien puede darme algunas pistas?

Answer 1

Sí, su conjetura es correcta. Aquí está la prueba:

Supongamos que $g \in X$ . Entonces, puesto que $e \in X$ , $e=g^{-1}g \in g^{-1}X$ de modo que por cosets de $X$ partición $G$ , $g^{-1}X=X$ de modo que $e \in X \Rightarrow g^{-1}e \in g^{-1}X=X$ . Esto demuestra que $X$ es cerrado bajo el mapa de inversión $G \rightarrow G$ . Para la composición, si $g,h \in X$ entonces $h=he \in hX$ de manera similar desde arriba, $hX=X$ . Entonces, $hg \in hX=X$ de modo que $hg \in X$ . Esto con $e \in X$ demuestra que $X$ satisface todos los axiomas de un subgrupo, de modo que $X \subset G$ es un subgrupo.