Defina $T:P(R)->P(R)$ por $Tp=p'.$ Encontrar todos los valores propios y vectores propios de T

Question

Defina $T:P(R)->P(R)$ por $Tp=p'.$ Encontrar todos los valores propios y vectores propios de T

Más o menos tengo una solución, pero estoy tratando de encontrarle sentido.

Mi intento:

Supongamos que $\lambda$ es un valor propio de T con un vector propio $v\in V$ . Entonces, por definición, $v\neq 0$ y $Tv=\lambda v$ . Ahora

$v'=Tv=\lambda v$ . Podemos observar que si $\lambda \neq 0$ Entonces

$deg(v')<deg(v)$

$deg(v')<deg(\lambda v)$

Dado que el grado de una derivada es menor que el grado de la variable original. *Ahora dice que obtenemos una contradicción. Mi primera pregunta es... ¿Por qué tenemos una contradicción?

Continuando con la prueba...

Si $\lambda =0$ entonces

$v'=Tv=0v$ lo que implica $v'=0$ . Desde $v'=0$ $v$ debe ser una constante ya que la derivada de una constante es igual a cero.*Ahora dice....Entonces el único valor propio de T es cero con polinomios constantes no nulos como vectores propios...Mi segunda pregunta... ¿por qué es esto cierto?**

Answer 1

Supongamos que $\lambda \neq 0$ y $v=a_n x^n +\cdots + a_1 x + a_0$ es un polinomio de grado $n > 0$ (es decir $a_n\neq 0$ ) para los que $v' = \lambda v$ .

Entonces $$v'= 0 x^{n} + a_n n x^{n-1} + \cdots + 2a_2 x + a_1 = \lambda v = \lambda a_n x^n + \lambda a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + \lambda a_0.$$ El coeficiente inicial cero se ha añadido para resaltarlo.

Así pues, comparando los coeficientes tenemos $\lambda a_{i-1} = i a_i$ para cada $i=1,...,n$ y $a_n = 0$ ( $v'$ tiene un grado inferior a $n$ ), ya que dos polinomios coinciden si sus coeficientes coinciden. Esto contradice nuestra suposición del grado de $v$ en $n$ ya que $a_n$ debe ser distinto de cero.

Así, el grado de $v$ debe ser $0$ y $v$ es una constante. Ahora sabemos que para cualquier función constante $v$ , $v' =0 = 0 \cdot v$ . Así pues, los polinomios constantes son funciones propias (vectores propios) con valor propio $0$ .

Answer 2

Sea $\mathcal{E}$ la base estándar para $P(R)$ . Entonces la matriz de $T$ respecto a $\mathcal{E}$ es triangular superior con todos los ceros en la diagonal principal. Así que el único valor propio es $0$ y claramente la matriz no es diagonalizable. El eigespacio viene dado por las funciones constantes, ya que el eigespacio relativo a $0$ coinciden con el núcleo de $T$ .