¿Existen pruebas "motivacionales" de las conjeturas de Weil en casos especiales?

Question

Esta es una pregunta para empezar a leer más sobre las conjeturas de Weil y las conjeturas estándar. Se sabe que la conjeturas estándar sobre la desaparición de ciclos implicaría las conjeturas de Weil. Entonces, ¿hay pruebas de las conjeturas de Weil en casos especiales utilizando resultados parciales sobre las conjeturas estándar? Si es así, ¿en qué casos y cuáles son las referencias?

Antecedentes: Menciones de Borcherds aquí que Manin demostró algunos casos especiales en dimensiones superiores utilizando motivos.

Answer 1

Las pruebas de Weil para curvas y variedades abelianas utilizan esencialmente casos especiales de las conjeturas estándar, y el marco de las conjeturas estándar (como muchas otras conjeturas de naturaleza motivacional) se sugiere tratando de generalizar el caso de la variedad abeliana (o si se quiere, el caso de H^1) a las variedades generales (o si se quiere, a la cohomología en grados superiores).

La prueba de Deligne para las superficies K3 utiliza una relación motivacional entre las K3 y las variedades abelianas (que se ve más fácilmente en el nivel de las estructuras de Hodge) para importar el resultado para las variedades abelianas al contexto de las superficies K3. Esto no difiere mucho en espíritu de la prueba de Manin para las 3-folds uniracionales, salvo que la relación entre la K3 y la variedad abeliana asociada (la llamada variedad Kuga-Satake) no es tan transparente.

[Añadido, a la luz de los comentarios de Donu Arapura y Tony Scholl más abajo:] En el ejemplo K3, sería mejor escribir "a conjetura relación motivacional ... (que puede observarse rigurosamente a nivel de las estructuras de Hodge) ...".

Answer 2

Por supuesto, está la de Serre Análogos kählerianos de algunas conjeturas de Weil Annals 1960, donde deduce un análogo de la hipótesis de Weil-Riemann sobre $\mathbb{C}$ utilizando hechos estándar de la teoría de Hodge. Esto no es técnicamente una respuesta en absoluto, pero pensé en mencionarlo ya que tenía la impresión (tal vez equivocada) de que esto fue en parte la inspiración para las conjeturas estándar.

El otro comentario más relevante es que se puede dar una demostración elemental de la conjetura de Weil para cualquier variedad lisa cuyo motivo de Grothendieck esté en el tensor tensor generada por las curvas. Debería explicarlo, especialmente a la luz de los comentarios de Minhyong, que esto podría entenderse como una abreviatura para decir que la variedad puede construirse a partir de curvas tomando productos, tomando imágenes, ampliaciones a lo largo de centros del mismo tipo, etcétera. En realidad, para tales variedades, el Frobenius puede verse que actúa semisimplemente. Creo que esto está abierto en general. Así que tal vez hay algún valor en esto.

Answer 3

El artículo de Manin es MR0258836 Manin, Ju. I. Correspondencias, motivos y transformaciones monoidales. Mat. Sb. (N.S.) 77 (119) 1968 475--507 donde utiliza motivos para demostrar las conjeturas de Weil para 3pliegues proyectivos uniracionales.