Si $A\in O_n(\mathbb{R})$ entonces $A^{-1}\in O_n(\mathbb{R})$

Question

Tengo que demostrar que si $A\in O_n(\mathbb{R})$ entonces $A^{-1}\in O_n(\mathbb{R})$

$$A\in O_n(\mathbb{R})\iff A^{t}=a^{-1}$$

Pero ¿cómo puedo demostrar que $A^{-1}\in O_n(\mathbb{R})$ si miro $(A^t)^t$ Lo entiendo. $(A^t)^t=(A^{-1})^{-1}=A$

Answer 1

Desde $A\in O_n(\mathbb{R})$ sabemos que $A$ es invertible y $A^{-1}=A^t$ .

Para demostrar que $A^{-1}\in O_n(\mathbb{R})$ tenemos que demostrar que $A^{-1}$ es invertible y $(A^{-1})^{-1}=(A^{-1})^t$ .

Ahora, $A^{-1}$ es invertible y $(A^{-1})^{-1}=A$ (esto es cierto para cualquier matriz invertible), así que lo que queda por demostrar es que $A=(A^{-1})^t$ . ¿Puede deducir esto de $A^{-1}=A^t$ ?