Definición general de superficies en $\mathbb{R}^{n}$

Question

¿Cómo se define una esfera que sólo contiene información topológica? ¿Y la de un toroide? Sólo se me ocurren definiciones como "puntos en $\mathbb{R}^{n}$ que satisfaga: $f(x) = 0$ "pero ¿existe una forma más general de definir al menos algunas superficies? Tomemos $n=3$ como referencia.

Answer 1

El término "superficie" puede definirse de formas sutilmente distintas según el contexto. Dos definiciones que parecen útiles para sus propósitos son:

A topológico $2$ -(sin límites) en $\mathbb R^n$ es un conjunto $M\subset \mathbb R^n$ tal que, para todo $p \in M$ existe un conjunto abierto $U$ tal que $p\in U$ y $U\cap M$ es homeomorfo a $\mathbb R^2$ .

A topológico $2$ -con límite en $\mathbb R^n$ es un conjunto $M\subset \mathbb R^n$ tal que, para todo $p \in M$ existe un conjunto abierto $U$ tal que $p\in U$ y $U\cap M$ es homeomorfo a $\mathbb R^2$ o al semiplano $\text{H}^2=\{(x,y)\in \mathbb R^2: y \geq 0\}$ .

A veces, estas definiciones pueden modificarse y restringirse $-$ por ejemplo, es bastante común exigir que tanto el homeomorfismo como su inversa sean funciones suaves, en cuyo caso $M$ se denomina colector liso en lugar de un colector topológico.

Clasificar una superficie determinada $M$ como una esfera, un toroide, un disco, etc. suele implicar tratar $M$ como subespacio topológico de $\mathbb R^n$ y describiendo algunas de las invariantes topológicas de ese espacio con la esperanza de clasificar $M$ hasta homeomorfismo o hasta equivalencia de homotopía que es una condición más débil (los espacios homeomórficos son siempre homotópicamente equivalentes, pero no viceversa).

Algunos de estos invariantes son probablemente conocidos de la topología general $-$ Por ejemplo, a menudo se distingue entre colectores compactos y no compactos. Otras son menos familiares. Las más importantes son probablemente homotopía y homología grupos asociados a $M$ que, en conjunto, la caracterizan ampliamente. Por desgracia, las definiciones suelen ser bastante complejas y farragosas. Sin embargo, están estrechamente asociadas a invariantes más sencillas, como el género y el Característica de Euler . La definición de la característica de Euler, en particular, es relativamente accesible y de considerable importancia histórica.

También se puede hablar de $M$ como espacio topológico por sí mismo sin que herede una topología de subespacio de $\mathbb R^n$ . Esto lleva más trabajo, pero es posible caracterizar topológicamente las superficies sin preocuparse de en qué espacio están incrustadas.

Hay mucho que decir sobre la clasificación topológica de las variedades y campos de estudio enteros dedicados principalmente a este tema, así que apenas estoy arañando la superficie (disculpen el juego de palabras). Pero espero que sirva al menos como punto de partida.

Answer 2

Una esfera sería una variedad topológica compacta de dimensión 2 y género 0. Un toro de género 1. Estos términos puedes buscarlos en wikipedia.