En $\int\limits^\pi_1\frac{\sin\left(\frac{1}{\cos x}\right)}{\sqrt{x} }dx$ ¿convergen o divergen?

Question

Esto es lo que tengo, aunque lo más probable es que me falte algo:

$$\int\limits^\pi_1\frac{\sin\left(\frac{1}{\cos x}\right)}{\sqrt{x} }dx \le \int\limits_1^{\pi}\sin\left(\frac{1}{\cos x}\right)dx\le\int\limits_1^\pi dx=\pi-1$$

Por lo tanto, converge.

¿Y cuando $x=\frac{\pi}{2}\implies \cos x=0$ ¿Qué hacer al respecto?

Answer 1

En el intervalo $[1,\pi]$ :

$$\left|\frac{\sin\left(\frac{1}{\cos x}\right)}{\sqrt{x}}\right|\le\left|\sin\left(\frac{1}{\cos x}\right)\right|\le 1$$

por lo tanto

$$ \int\limits^\pi_1 \left| \frac{\sin\left(\frac{1}{\cos x}\right)}{\sqrt{x} }\right|\,dx\le \int\limits^\pi_1 \,dx=\pi - 1$$

por lo que la integral converge.