Cómo encontrar variables específicas que hacen que los vectores sean linealmente independientes / dependientes

Question

Los vectores

$v= \begin{bmatrix} 5\\ 2\\ 7\\ \end{bmatrix}, u = \begin{bmatrix} 4\\ 4\\ 13+k\\ \end{bmatrix}, \text{and } w = \begin{bmatrix} -4\\ -2\\ -6\\ \end{bmatrix} $

son linealmente independientes si y sólo si $k \neq$ ¿Qué?

¿Cómo puedo solucionarlo exactamente?

Answer 1

Pista:

Si no quieres utilizar el determinante puedes escribir

$$l_1{\bf v} + l_2{\bf u} + l_3{\bf w} + l_4{\bf [0,0,1]^T = 0}, (\text{where } l_4/l_2 = k)$$

Será un sistema de ecuaciones sobredeterminado y tendrá una solución por mínimos cuadrados:

$$\min_{\forall l_k} \|l_1{\bf v} + l_2{\bf u} + l_3{\bf w} + l_4{\bf [0,0,1]^T\|_2 }$$

cuando $l_4/l_2 = k$ proporciona un ajuste perfecto.

Answer 2

Pista:

Si tienes tres vectores en tres dimensiones, entonces son linealmente dependientes si y sólo si el determinante, de la matriz de 3 por 3 cuyas columnas (o filas) son tus vectores, es cero.

(El determinante da el volumen del paralelepípedo que abarcan sus columnas (o filas)).

En general, si tiene un conjunto de $n$ vectores en $n$ -son linealmente dependientes si y sólo si el determinante, de la variable $n$ -por- $n$ matriz cuyas columnas (o filas) son sus $n$ vectores, es cero.

Answer 3

Como Fly by Night ha mencionado, estos vectores serán linealmente dependientes si y sólo si $$\det \begin{pmatrix} 5 & 4 & -4\\ 2 & 4 & -2\\ 7 & 13+k & -6 \end{pmatrix} = 0.$$

\begin{align*} \det \begin{pmatrix} 5 & 4 & -4\\ 2 & 4 & -2\\ 7 & 13+k & -6 \end{pmatrix} &= 5[(4)(-6) - (13+k)(-2)] - 4[(2)(-6) - (7)(-2)] + (-4)[(2)(13+k)-(7)(4)] \\ &=2k+10 \end{align*}

Por lo tanto, los vectores serán linealmente dependientes si y sólo si $$ 2k+10 = 0.$$