Integración por partes y coordenadas polares

Question

¿Puede alguien mostrarme cómo integrar

$$\int_0^\infty\frac4{\pi b^2}x^2e^{-x^2/b^2}dx\;?$$

por favor muestre los pasos para integrar este problema. Esto es lo que tengo hasta ahora.

$$\frac4{\pi b^2}\int_0^\infty x^2 e^{-x^2/b^2}dx\;.$$

Sé que tengo que utilizar la integración por partes. vamos $u = x$ y $dv = xe^{-x^2/b^2}$ entonces $du=dx$ y $v=\int xe^{-x^2/b^2}dx$ . Pero aquí es donde me quedo atascado.

Sé que voy a tener que conseguir de alguna manera $\int xe^{-x^2/b^2}dx$ por sí mismo para utilizar coordenadas polares, pero no estoy seguro de cómo conseguirlo por sí mismo y luego poner todo junto de nuevo. ¡¡¡Agradezco cualquier ayuda!!!

Answer 1

Esto requiere un truco. Dejemos que $I$ sea el valor de la integral. Entonces

$$\begin{align*} I^2&=\left(\int_0^\infty\frac4{\pi b^2}x^2e^{-x^2/b^2}dx\right)\left(\int_0^\infty\frac4{\pi b^2}y^2e^{-y^2/b^2}dy\right)\\\\ &=\frac{16}{\pi^2b^4}\int_0^\infty\int_0^\infty x^2y^2e^{-(x^2+y^2)/b^2}dydx\;. \end{align*}$$

Ahora convertir a coordenadas polares: $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ etc. Estás integrando sobre el primer cuadrante, así que quieres que tu integral doble en coordenadas polares tenga $0\le\theta\le\frac{\pi}2$ y $0\le r<\infty$ . Cuando hayas completado la integración, tendrás $I^2$ de la que podrá obtener fácilmente $I$ .

Añadido: Ignorando las diversas constantes, se tiene esencialmente algo como $$\int_0^{\pi/2}\int_0^\infty r^5\cos^2\theta\sin^2\theta e^{-r^2}drd\theta=\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\sin^2\theta\int_0^\infty r^5e^{-r^2}drd\theta\;.$$

La integral interna (con respecto a $r$ ) puede hacerse por integración por partes repetida; para la primera, sea $u=r^4$ , $dv=re^{-r^2}dr$ de modo que $du=4r^3dr$ y $v=-\frac12e^{-r^2}$ . Eso te dejará con algo de la forma $\int_0^\infty r^3e^{-r^2}dr$ que tratar. Repite el proceso, y tendrás algo de la forma $\int_0^\infty re^{-r^2}dr$ que puedes integrar directamente.

En ese momento estarás integrando algún múltiplo de $\cos^2\theta\sin^2\theta$ . Una forma es utilizar la fórmula del doble ángulo para el seno para reescribirlo como $\frac12\sin^22\theta$ a continuación, utilice la fórmula del semiángulo para reescribir $\sin^22\theta$ como $\frac12(1-\cos 4\theta)$ que puedes integrar.

Answer 2

En realidad yo usaría un truco diferente. Estoy asumiendo que usted sabe que $$\begin{equation} \int^\infty_0 dx~e^{-a x^2} = {1\over2} \sqrt{\pi\over a}~. \end{equation}$$ La derivada del lado derecho con respecto a $a$ es un cálculo trivial y la derivada del lado izquierdo es proporcional a la integral que se quiere resolver (después de fijar $a=b^{-2}$ ).

Answer 3

Este tipo de integrales son muy utilizadas en estadística, y uno de los enfoques más prácticos para abordarlas es explotar la función gamma . Recordando la definición de la función gamma

$$\Gamma(s) = \int_{0}^{\infty} t^{s-1} {\rm e}^{-t}dt\,.$$

Realizar el cambio de variables $y=\frac{x^2}{b^2}$ convierte la integral en la función gamma

$$\int_0^\infty\frac4{\pi b^2}x^2e^{-x^2/b^2}dx\;= \frac{2b}{\pi}\int _{0}^{\infty }\sqrt {y}\,{{\rm e}^{-y}}{dy} = \frac{2b}{\pi} \Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{b}{\pi}\Gamma(\frac{1}{2})= \frac{b}{\sqrt{\pi}}\,.$$