Demostrar que $f(x) = x^3 -x $ es suryectiva

Question

Problema: Demostrar que la correspondencia $ f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R , f(x) = x^3-x$ es suryectiva.

Sea $y\in \mathbb R$ tal que $f(x)=y$ para algunos $x\in \mathbb R$ . Entonces $x^3-x=y$ . Si podemos expresar $x$ en términos de $y$ entonces podemos decir algo sobre la subjetividad. Pero me quedé atascado en ese punto.

¿Cuál es la manera de resolver este problema?

Answer 1

Usted tiene $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ y $\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty$ Así pues $f$ es suryectiva por la teorema del valor intermedio .

Answer 2

Cualquier polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real (de hecho, tiene un número impar de ellas, contadas con multiplicidad). Consideremos ahora el polinomio $x^3-x-a$ para cualquier $a \in \mathbb{R}$ . Una raíz de este polinomio da entonces un número real $b$ para lo cual $b^3-b=a$ . Por lo tanto, $\forall a \in \mathbb{R} \ \exists b \in \mathbb{R} \ (b^3-b=a)$ por lo que la función $f(x)=x^3-x$ es suryectiva.

Más en general, cualquier polinomio de grado impar con coeficientes reales es suryectivo (de los reales a los reales).