Una ecuación matricial especial

Question

Determine $X \in M(\mathbb{R})$ tal que:

$X^2=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

Mi intento de solución:

No he encontrado ningún método para descubrir las soluciones reales para X.

$1$ ) Definir $A = X^2$ , $A$ es una matriz simétrica que implica $A$ es diagonalizable.

$2$ ) Entonces, encuentro los valores propios de $A: -1, -1, 2$

$3$ ) Con los valores propios de $A$ encontré vectores propios asociados a cada valor propio, y por tanto una matriz invertible $P$ tal que $A = P*D_A*P^{-1}$ .

$P =\begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 \\1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ , $D_A =\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \\0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ , $P^{-1} =\begin{bmatrix} -1/3 & 2/3 & -1/3 \\-1/3 & -1/3 & 2/3 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \end{bmatrix}$

$4$ ) Ahora necesitamos encontrar los valores propios de $X$ porque si suponemos que $X$ es diagonalizable, por lo que tenemos la misma matriz $P$ como: $X = P*D_x*P^{-1}$ implica que $X^2 = P*D_x ^{2}*P^{-1}$ y $D_x ^{2} = D_A$ .

Por el Teorema del Mapeo Espectral: Sabemos que cada valor propio de $X$ pertenece al conjunto $\{-i,i,\sqrt2,-\sqrt2\}$

Recuerde que $X \in M(\mathbb{R})$ por lo que el polinomio característico sólo tiene coeficientes reales, implica que en resumen los eingenvalores de $X$ tenemos dos posibilidades: $i,-i, \sqrt2$ o $i, -i, -\sqrt2 $

$5$ ) Definir:

$D_x,_1 =\begin{bmatrix} i & 0 & 0 \\0 & -i & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt2 \end{bmatrix}$ , $D_x,_2 =\begin{bmatrix} i & 0 & 0 \\0 & -i & 0 \\ 0 & 0 & -\sqrt2 \end{bmatrix}$ , $D_x,_3 =\begin{bmatrix} -i & 0 & 0 \\0 & i & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt2 \end{bmatrix}$ , $D_x,_4 =\begin{bmatrix} -i & 0 & 0 \\0 & i & 0 \\ 0 & 0 & -\sqrt2 \end{bmatrix}$

Mira que cualquier $D_x ^2 = D_A$ .

$6$ ) Ahora debería ser fácil, ¿verdad?

$X_1 = P*D_x,_1*P^{-1} = \begin{bmatrix} \sqrt2/3 & (\sqrt2 -3i)/3 & (\sqrt2 +3i)/3 \\(\sqrt2 -i)/3 & (\sqrt2 +2i)/3 & (\sqrt2 -i)/3 \\ (\sqrt2 +i)/3 & (\sqrt2 +i)/3 & (\sqrt2 -2i)/3 \end{bmatrix}$

$X_2 = P*D_x,_2*P^{-1} = \begin{bmatrix} -\sqrt2/3 & (-\sqrt2 -3i)/3 & (-\sqrt2 +3i)/3 \\(-\sqrt2 -i)/3 & (-\sqrt2 +2i)/3 & (-\sqrt2 -i)/3 \\ (-\sqrt2 +i)/3 & (-\sqrt2 +i)/3 & (-\sqrt2 -2i)/3 \end{bmatrix}$

$X_3 = P*D_x,_3*P^{-1} = \begin{bmatrix} \sqrt2/3 & (\sqrt2 +3i)/3 & (\sqrt2 -3i)/3 \\(\sqrt2 +i)/3 & (\sqrt2 -2i)/3 & (\sqrt2 +i)/3 \\ (\sqrt2 -i)/3 & (\sqrt2 -i)/3 & (\sqrt2 +2i)/3 \end{bmatrix}$

$X_4 = P*D_x,_4*P^{-1} = \begin{bmatrix} -\sqrt2/3 & (-\sqrt2 +3i)/3 & (-\sqrt2 -3i)/3 \\(-\sqrt2 +i)/3 & (-\sqrt2 -2i)/3 & (-\sqrt2 +i)/3 \\ (-\sqrt2 -i)/3 & (-\sqrt2 -i)/3 & (-\sqrt2 +2i)/3 \end{bmatrix}$

Mira que cualquier $X^2 = A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

$7$ ) Recuerde $X \in M(\mathbb{R})$ y $X_1, X_2, X_3, X_4 \notin M(\mathbb{R})$ . En ese momento, pensé que tal vez no hay $X \in M(\mathbb{R})$ tal que $X^2 = A$ . Por eso intenté encontrar una solución y descubrí ésta:

$X = \begin{bmatrix} \sqrt2 & -1 & 1 \\1 & 0 & \sqrt2 -1 \\ -1 & \sqrt2 +1 & 0 \end{bmatrix}$

Es fácil comprobar que es correcto, $X^2 = A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

$8$ ) Pero es sólo una solución, y no sé cómo encontrar todas las soluciones reales sin adivinar. He visto otros problemas como éste en este sitio web, pero ninguna de las respuestas que he encontrado tiene una solución satisfactoria para $X \in M(\mathbb{R})$ .

Answer 1

Vamos a utilizar coordenadas transformadas y luego como: Cuando es $X^2=\mathrm{diag}(-1,-1,2)$ ? Este es exactamente el caso si para las filas $r_i$ y columnas $c_j$ de $X$ que tenemos: $$ r_ic_j = 0$$ si $i\neq j$ y si no $-1$ para $i=j=1,2$ o $2$ si $i=j=3$ . El resultado es un sistema de $9$ ecuaciones cuadráticas en $9$ variables.

Si tomamos el Ideal del anillo polinómico correspondiente y calculamos una base de Groebner para el orden lexicográfico de los términos, obtenemos: $$\left[x_{11}^{2} - x_{22}^{2}, x_{11} x_{12} + x_{12} x_{22}, x_{11} x_{21} + x_{21} x_{22}, x_{11} x_{22}^{2} + x_{11} + x_{22}^{3} + x_{22}, x_{12} x_{21} + x_{22}^{2} + 1, x_{13}, x_{23}, x_{31}, x_{32}, x_{33}^{2} - 2\right]$$ Así que cualquier solución debe tener $x_{33}=\pm\sqrt{2}$ , $x_{32}=x_{31}=x_{23}=x_{13} =0$ .

Entonces $x_{11}=\pm x_{22}$ . Si $x_{11}=0$ obtenemos $x_{12}x_{21}=-1$ o $x_{12}=-1/x_{21}$ .

Si $x_1=-x_2$ la segunda, tercera y cuarta cancelación polinómica a $0$ y nos quedamos con $x_{12}x_{21} + x_{22}^2 +1 =0 $ o $x_{22} = \pm \sqrt{-1-x_{12}x_{21}}$ .

Por último, si $x_{11}=x_{22}\neq 0$ obtenemos inmediatamente $x_{12}=0=x_{21}$ y luego $x_{22}^2=-1$ .

Esto nos da las siguientes tres formas para $X$ : $$ X=\begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 \\ 0&0&\pm\sqrt{2}\end{pmatrix},\qquad X=\begin{pmatrix} -i & 0 & 0 \\ 0 & -i & 0 \\ 0&0&\pm\sqrt{2}\end{pmatrix}$$ o $$ X=\begin{pmatrix} 0 & x & 0 \\ -1/x & 0 & 0 \\ 0&0&\pm\sqrt{2}\end{pmatrix}\qquad\text{s.t. $ x\neq0 $}$$ o $$ X=\begin{pmatrix} \sqrt{-1-xy} & x & 0 \\ y & -\sqrt{-1-xy} & 0 \\ 0&0&\pm\sqrt{2}\end{pmatrix},\quad X=\begin{pmatrix} -\sqrt{-1-xy} & x & 0 \\ y & \sqrt{-1-xy} & 0 \\ 0&0&\pm\sqrt{2}\end{pmatrix}\quad\text{with arbitrary $ x,y $} $$

Se puede comprobar fácilmente que estas tres formas satisfacen $X^2=\mathrm{diag}(-1,-1,2)$ .

EDIT: Las soluciones reales vienen dadas entonces por la forma 2 y por la forma tres sólo si $-1-xy\geq0$ Así que $xy\geq -1$ . Su ejemplo de solución se transforma en $$ \begin{pmatrix} \sqrt2 -1 & -2 & 0 \\ -\sqrt2+2 & -\sqrt2+1 & 0 \\ 0& 0 & \sqrt{2}\end{pmatrix}$$ Así que esta es la forma 3 con $x=-2$ , $y=2-\sqrt2$ , $-1-xy=-1+4-2\sqrt2 = 3-2\sqrt2>0$ . Esto puede expresarse como $1^2-2\cdot1\cdot\sqrt2+\sqrt2^2=(1-\sqrt2)^2$ .