¿Cómo evaluar la función de distribución acumulativa con sigma de un SRS dado?

Question

Me han dado un conjunto de 10 valores positivos que constituyen una SRS (Muestra Aleatoria Simple) de una población, que tiene una distribución normal.

A continuación se me pide que evalúe $a = \sum_{i=1}^n\frac{(x_{i}-\mu)^2}{\sigma^2}$ y proporcionar la distribución. Como se trata de una suma, supuse a sería simplemente un número.

Por último, se me pide que evalúe la siguiente FCD: P ( $\sum_{i=1}^n\frac{(x_{i}-\mu)^2}{\sigma^2} \le a$ ).

¿Cómo debo interpretar esto? Si los valores de la SRS son todos positivos, ¿cómo podría un subconjunto menor que el tamaño de $n$ tienen el valor de $a$ ? ¿La probabilidad de esto no sería simplemente $1$ ?

Answer 1

Desde $\dfrac{x_i-\mu}{\sigma}\sim\operatorname N(0,1)$ y $x_1,\ldots,x_n$ son mutuamente independientes, tenemos $ \displaystyle \sum_{i=1}^n \left( \frac{x_i-\mu} \sigma \right)^2 \sim \chi^2_n.$

Answer 2

Durante muchos años, se han impreso tablas CDF de la distribución chi-cuadrado en la mayoría de los textos de estadística básica orientados a las aplicaciones.

Además, hoy en día se utiliza mucho el software estadístico: Por ejemplo, Supongamos $Q \sim\mathsf{Chisq}(\nu = 5),$ y que quieres $P(Q \le .05) = 0.0000292$ o quieres $c=11.0705$ tal que $P(Q \le c) = .95,$ puede utilizar la CDF chi-cuadrado pchisq o la función cuantil chi-cuadrado (FCD inversa) qchisq en R, como sigue:

pchisq(.05, 5)
[1] 2.920954e-05
qchisq(.95, 5)
[1] 11.0705
qchisq(.05, 5)
[1] 1.145476       # P(Q < 1.1455) = 0.05
pchisq(1.1455, 5)
[1] 0.05000219

Además, la función de densidad chi-cuadrado es dchisq .

hdr = "Density of CHISQ(df = 5)"
curve(dchisq(x, 5), 0, 15, lwd=2, col="blue", 
  ylab="PDF", xlab="q", main=hdr)
 abline(h=0, col="green2"); abline(v=0, col="green2")
 abline(v = c(.05, 1.1455, 11.0705), col=c("red","cyan3", "purple"), lwd=2, lty="dotted")

Aplicación: Supongamos que desea un intervalo de confianza del 90 para $\sigma^2$ basado en una muestra de tamaño $n=10$ de una población normal con media y varianza desconocidas. Entonces $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\mathsf{Chisq}(\nu = 9).$ [Los grados de libertad se reducen a $\nu=n-1=9$ porque $\bar X$ estimaciones $\mu$ en la fórmula habitual para el varianza muestral $S^2.$ Fácil de recordar; un poco complicado de demostrar].

Entonces, si los valores $L$ y $U$ corte 5% de la probabilidad de las colas inferior y superior, respectivamente, de $\mathsf{Chisq}(9),$ tenemos $P\left(L \le \frac{9S^2}{\sigma^2} \le U\right) = 0.9.$ Este conduce a un IC del 90% para $\sigma^2$ de la forma $\left(\frac{(n-1)S^2}{U}, \frac{(n-1)S^2}{L}\right).$

En particular, supongamos que tenemos una muestra normal de tamaño $n=10$ con varianza muestral $S^2 = 3.21,$ entonces nuestro IC del 90% para $\sigma^2$ es $(1.71, 8.69).$ [En general, se necesitan muchos datos para obtener un IC corto para una varianza poblacional. "Las varianzas son muy variables"].

9*3.21/qchisq(c(.95,.05), 9)
[1] 1.707550 8.688427