¿Cómo evita la teoría de conjuntos ZF la paradoja de Russell

Question

En el capítulo 1 § 5 de Teoría de conjuntos de Kenneth Kunen. Kunnen explica que un intento ingenuo para formalizar el Axioma de Comprensión se vería así $\exists y \forall x (x \in y \leftrightarrow \phi)$ .

Pero el libro afirma que es incorrecto porque cuando definimos $\phi$ como $x \notin x$ podemos tener la siguiente deducción $\forall x (x \in y \leftrightarrow x \notin x)$ Y cuando $x = y$ obtenemos $(y \in y \leftrightarrow y \notin y)$ .

Por lo tanto, el libro sugiere que el axioma correcto sea $\exists y \forall x (x \in y \leftrightarrow x \in z \wedge \phi)$ .

Pero cuando intenté seguir exactamente el mismo paso terminé con $(y \in y \leftrightarrow y \in z \wedge y \notin y)$ .

Si $y \in z$ evaluado a verdadero terminaremos exactamente con el mismo predicado que con el axioma ingenuo de comprensión. Sé que la paradoja de Russell no debería funcionar en la teoría de conjuntos ZF, pero no consigo averiguar qué falla en mi razonamiento.

Answer 1

Creo que hay un fallo en mi prueba y cuando intenté escribir la prueba formalmente creo que fui capaz de ver por qué la paradoja no se sostiene.

La prueba es al estilo Gentzen (que el libro no utiliza) y fue la única forma que pude seguir.

El axioma completo de la comprensión dice que: Para cada fórmula $\phi$ con variables libres entre $x, y, z, w_1, ..., w_n$ $$ \forall z \forall w_1, ..., w_n\exists y \forall x (x\in y \leftrightarrow x \in z \wedge \phi) $$

Suponemos que $\phi$ es $x \notin x$ por lo que ya no necesitamos $w_1,....w_n$

La prueba será como sigue:

$$ \dfrac { \dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \dfrac{ \dfrac{}{z, x, x \in z \vdash x \in z \wedge x \notin x}\text{*} } {z, x \vdash (x\in z \rightarrow x \in z \wedge x \notin x)} ~~~ \dfrac{ \dfrac{}{z, x, x \in z, x \notin x \vdash x \in z}(assumptions)} {z, x \vdash x \in z \wedge x \notin x \rightarrow x \in z} (\text{introuce the hypothesis}) }{ z, x \vdash x\in z \leftrightarrow x \in z \wedge x \notin x }(\text{split equivalence})}{z \vdash \forall x (x\in z \leftrightarrow x \in z \wedge x \notin x)} ( \text{introduce } x) } {z \vdash \exists y \forall x (x\in y \leftrightarrow x \in z \wedge x \notin x)} (\text{exists }z) } {\vdash\forall z \exists y \forall x (x\in y \leftrightarrow x \in z \wedge x \notin x) } (\text{introduce } z) $$

La continuación de la prueba de * es:

1- Demostrar que $z, x, x \in z \vdash x \in z$ que es trivial por hipótesis.

2- Demostrar que $z, x, x \in z \vdash x \notin x$ . que es lo mismo que $z, x, x \in z, x \in x \vdash false$ . Me costó un poco, pero aprendí que esto es una consecuencia directa del axioma fundamental que se tratará más adelante en el capítulo 3.