$\int _{|z|=1} \frac{1}{z-z_o} dz=0 $ para $|z_o|>1$

Question

$\displaystyle \int _{|z|=1} \frac{1}{z-z_o} dz=0 $ para $|z_o|>1$

Desde $|z|=1$ , $\gamma(t)=e^{it} , t \in [0.2 \pi]$

Al integrar tengo $\ln|\frac{z_o}{z_o-1}|$ ¿Es esto correcto? ¿Cómo obtener la respuesta adecuada?

Answer 1

PISTA PARA OBTENER LA RESPUESTA ADECUADA:

$1/(z-z_0)$ es analítica en $ |z|\lt1 $ si $|z_0|\gt 1$ .
Aplicar el teorema de Cauchy-Goursat.

Si tiene algún problema, coméntelo.

Adenda:

$1/(z-z_0)=u+iv$ [u,v son funciones reales y v es conjugado armónico de u porque en la situación dada como puedes ver,el integrando es analítico].

$\int _{|z|=1} \frac{1}{z-z_o} dz= \int _{|z|=1}(u+iv)(dx+idy)dz=\int _{|z|=1} (udx-vdy)+i\int _{|z|=1}(vdx+udy)=\int \int_{|z|<1}(-v_x-u_y)dxdy + \int \int_{|z|<1}(u_x-v_y)dxdy$ [por el teorema de Green]

Las integradas de las últimas integrales son continuas $(u_x,u_y,v_x,v_y)$ porque de nuevo $1/(z-z_0)$ ser analítico en la situación dada. $\implies$ la integral existe.

Ahora aprovechando las ecuaciones CR viz., $u_x=v_y,u_y=-v_x$ obtienes..:
$\int _{|z|=1} \frac{1}{z-z_o} dz=\int \int_{|z|<1}(-v_x-u_y)dxdy + \int \int_{|z|<1}(u_x-v_y)dxdy=0$
Esto te da la respuesta correcta.