Sea sk sea el k ª suma parcial de ∑xn .
a) Supongamos que existe un m∈N tal que lim existe y \lim x_n = 0 . Demuestre que \sum x_n converge.
b) Encuentre un ejemplo en el que \lim_{k \to \infty} s_{2k} existe y \lim x_n \not=0 (y por tanto \sum x_n diverge).
c) (Desafío) Encuentre un ejemplo en el que \lim x_n =0 y existe una subsecuencia \{s_{k_j}\} tal que \lim_{j \to \infty} s_{k_j} existe, pero \sum x_n sigue siendo divergente.
Sé que la serie converge si s_k converge. Por tanto, creo que la pregunta a) se deduce simplemente de esta equivalencia (¿estoy en lo cierto?). Para b), creo que esta serie debe ser la que es alterna y cada término se cancela sólo cuando la serie es par sumas parciales, pero no puedo encontrar tal serie. Para c) no tengo ni idea.
Esta pregunta es un poco desafiante para mí. Aprecio si usted da un poco de ayuda.