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Ejercicio 2.5.13 en Introducción al análisis real por Jiri Lebl

Sea sk sea el k ª suma parcial de xn .

a) Supongamos que existe un mN tal que lim existe y \lim x_n = 0 . Demuestre que \sum x_n converge.

b) Encuentre un ejemplo en el que \lim_{k \to \infty} s_{2k} existe y \lim x_n \not=0 (y por tanto \sum x_n diverge).

c) (Desafío) Encuentre un ejemplo en el que \lim x_n =0 y existe una subsecuencia \{s_{k_j}\} tal que \lim_{j \to \infty} s_{k_j} existe, pero \sum x_n sigue siendo divergente.

Sé que la serie converge si s_k converge. Por tanto, creo que la pregunta a) se deduce simplemente de esta equivalencia (¿estoy en lo cierto?). Para b), creo que esta serie debe ser la que es alterna y cada término se cancela sólo cuando la serie es par sumas parciales, pero no puedo encontrar tal serie. Para c) no tengo ni idea.

Esta pregunta es un poco desafiante para mí. Aprecio si usted da un poco de ayuda.

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user254665 Puntos 4075

Para a): Dado \epsilon >0, toma k_1\in \Bbb N tal que k_1< k\le k'\implies |s_{km}-s_{k'm}|<\epsilon/3. Toma k_2\in \Bbb N con k_2\ge k_1 y tal que k_2m< j\implies |x_j|<\epsilon/(3m).

Ahora para k_2m\le n<n', considere k,k'\in \Bbb N donde km>n\ge (k-1)m y k'm>n'\ge (k'-1)m.

Tenemos k_1< k\le k' así que |s_{km}-s_{k'm}|<\epsilon/3. Tenemos k_2m< n+1 \le km así que |s_n-s_{km}|=|\sum_{j=n+1}^{km}x_j\,|\le \sum_{j=n+1}^{km}|x_j|< <(km-n)\cdot \epsilon/(3m)\le m\cdot \epsilon/(3m)=\epsilon/3. Del mismo modo, tenemos |s_{k'm}-s_{n'}|<\epsilon /3.

Así que |s_n-s_{n'}|\le |s_n-s_{km}|+|s_{km}-s_{k'm}|+|s_{k'm}-s_{n'}|<\epsilon.

Para c): . Tome una secuencia (b_n)_{n\in \Bbb N} de los miembros de (0,1] tal que \lim_{n\to \infty}b_n=0 y \sum_{n\in \Bbb N}b_n=\infty. Por ejemplo b_n=1/n.

Sea a_1=b_1.

Si s_n\ge 1 entonces a_{n+1}=-b_{n+1}.

Si s_n\le 0 entonces a_{n+1}=b_{n+1}.

Si s_n\in (0,1) y a_n>0 entonces a_{n+1}=b_{n+1}.

Si s_n\in (0,1) y a_n<0 entonces a_{n+1}=-b_{n+1}.

Para cualquier r\in [0,1], la secuencia S=(s_n)_{n\in \Bbb N} tiene una subsecuencia que converge a r. Para su Q, basta con demostrar que S tiene una subsecuencia que converge a 1 y otra subsecuencia que converge a 0.

S es como un caracol que va y viene de aproximadamente 1 a aproximadamente 0 en pasos "eventualmente más pequeños".

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