Evalúe $\int_0^4 |\sqrt{x} - 1|~dx$

Question

Estoy trabajando en un problema de integrales indefinidas. Actualmente atascado en esta pregunta:

$\int_0^4 |\sqrt{x} - 1|~dx$

He probado la siguiente sustitución:

Sea $u=\sqrt{x}$ Así que.., $du=\dfrac{dx}{2\sqrt{x}}$ cuando $x= 4 \Rightarrow u=2$ y $x=0 \Rightarrow u=0$

Aquí es donde estoy atascado. Parece que mi sustitución me falla.

Además, como se trata de un valor absoluto, he intentado expresarlo en función a trozos. Sin embargo, no puedo darle sentido.

¿Alguien puede ayudarme?

PS. Elaboré el punto anterior antes que éste, sin embargo, no sé si lo hice correctamente:

$\int_0^3 |x^2-4|~dx = \int_0^2 4-x^2~dx +\int_2^3 x^2-4~dx= 3$

¿Es correcto? Gracias

Answer 1

Obsérvese que entre [0,1), $\sqrt x -1 \lt 0$ . Por lo tanto | $\sqrt x -1$ |=- $(\sqrt x -1)$ .

Por lo tanto $$\int_0^4 |\sqrt{x} - 1|~dx=-\int_0^1 (\sqrt{x} - 1)~dx+\int_1^4(\sqrt{x} - 1)~dx$$