¿Es este espacio un espacio de Banach? 2

Question

Consideremos el conjunto de funciones $$\mathcal{B}=\{v\in L^2(0,T;H^1_0(\Omega)): \partial_tv\in L^2(0,T;H^{-1}(\Omega))\},$$ equipado con la norma $$\|v\|_{\mathcal{B}}:=\|v\|_{L^2(0,T;H^1_0(\Omega))}+\|\partial_tv\|_{L^2(0,T;H^{-1}(\Omega))},$$ donde $\Omega\subset\Bbb R^n$ es un dominio Lipschitz, y $H^{-1}(\Omega)$ es el espacio dual de $H^1_0(\Omega)$ .

Es $(\mathcal{B},\|\cdot\|_{\mathcal{B}})$ un espacio de Banach?

Sé que $u\in\mathcal{B}$ implica que $u\in C([0,T];L^2(0,T))$ que es un espacio de Banach por derecho propio, por lo que creo que habría que deducir que $\mathcal{B}$ es un subespacio cerrado de $C([0,T];L^2(0,T))$ pero no estoy seguro de cómo hacerlo.

Answer 1

Creo que una prueba directa es posible:

Sea $(u_k)$ sea una sucesión de Cauchy en $\mathcal{B}$ . Entonces, $(u_k)$ es Cauchy en $L^2(0,T; H^1_0)$ y $(\partial_tu_k)$ es Cauchy en $L^2(0,T; H^{-1})$ . Como se trata de espacios de Banach, concluimos que existe $u\in L^2(0,T; H^1_0)$ y $w\in L^2(0,T; H^{-1})$ tal que

$$\left\{\begin{align}u_k\to u\quad&\mbox{in}\quad L^2(0,T;H^1_0),\\ \partial_t u_k\to w\quad&\mbox{in}\quad L^2(0,T;H^{-1}).\end{align}\right.$$

De ello se deduce que $\partial_t u=w$ y así $\partial_t u\in L^2(0,T;H^{-1})$ . Por lo tanto $(u_k)$ converge a $u$ en $\mathcal{B}$ .