Integrar a $2\int x^2\, \sec^2x \,\tan x\, dx$

Question

$$2\int x^2\, \s^2x \,\tan x\, \mathrm{d}x$$

Cómo resolver esta usando integración por partes? WolframAlpha puede resolver, pero no es capaz de dar un paso-por-paso de la solución, y tiene una respuesta diferente a la que en la parte de atrás de mi libro de texto. También hay una pregunta/respuesta en yahoo respuestas, pero una vez más, que da una respuesta diferente a la que me ha dado.

Answer 1

Integrar por partes, distinguiendo $x^2$ y la integración de $\sec ^{2}x\tan x$ por sustitución de$^1$:

$$\begin{eqnarray*} I &=&\int x^{2}\sec ^{2}x\tan x\, dx=\frac{1}{2}x^{2}\sec ^{2}x-\int x\sec ^{2}x\,dx \\ &=&\frac{1}{2}x^{2}\sec ^{2}x-\left( x\tan x-\int \frac{\sin x }{\cos x}\,dx\right)\qquad \text{by parts; note }^2 \\ &=&\frac{1}{2}x^{2}\sec ^{2}x-x\tan x-\ln |\cos x|+C. \end{eqnarray*}$$ Así $$\begin{equation*} 2I=2\int x^{2}\sec ^{2}x\tan x dx=x^{2}\sec ^{2}x-2x\tan x-2\ln | \cos x|+C. \end{ecuación*}$$

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$^1$ Deje $u=\sec x$. A continuación, $du=\sec x\, \tan x$ y

$$\int \sec ^{2}x\tan xdx=\int u\,du=\frac{1}{2}u^{2}=\frac{1}{2}\sec ^{2}x.$$

$^2$ Diferenciar $x$ e integrar a $\sec^2 x$. Desde $\dfrac{d}{dx}\tan x=1+\tan ^{2}x=\sec ^{2}x$, $\displaystyle\int \s ^{2}xdx=\tan x$.

Answer 2

Sugerencia: Integrar por partes dos veces, y en cada caso suponga $u$ a ser la función polinómica y considerar la posibilidad de $dv$ para la primera integración por partes como $$dv = \sec(x) (\sec(x)\tan(x)) dx \implies v = \frac{1}{2} \sec^2(x).$$

Se puede terminar?