Transformada de Fourier de la integral del espacio momento burbuja

Question

Me encontré con la siguiente integral en la regularización dimensional $$ I=\int d^d k \,e^{i\vec{k}\cdot \vec{x}}\frac{1}{\vec{k}^2}\frac{1}{(\vec{q}-\vec{k})^2}, $$ digamos que ya hemos rotado la integral con Wick. Esto parece algo que sería posible evaluar, pero no consigo hacerlo. He intentado la parametrización de Schwinger pero de momento no he llegado a ninguna parte. Sé que es posible evaluar la integral en $x=0$ pero me preguntaba si alguien conoce una expresión cerrada que también sea función de $x$ . Se trata esencialmente de la transformada de Fourier del diagrama de burbujas.

UPDATE

Esto es lo que he conseguido hasta ahora. Usando un parámetro de Feynman $I$ puede escribirse como

$$ I=\int {d^d k} \,e^{i\vec{k}\cdot \vec{x}}\frac{1}{\vec{k}^2}\frac{1}{(\vec{q}-\vec{k})^2}= \int_0^1 dt \int {d^d k} \,e^{i\vec{k}\cdot \vec{x}}\frac{1}{(\vec{k}^2-2t \vec{k}\cdot {q +t \vec{q}^2} )^2}\\= \int_0^1 dt \, e^{it \vec{x}\cdot \vec{q}} \int d^d k e^{i\vec{k}\cdot \vec{x}} \frac{1}{(\vec{k}+ \Delta)^2}, \,\,\, \Delta=t(1-t)\vec{q}^2. $$ Donde he desplazado la variable de integración $k \to k-x q$ en el último paso.

Utilizando el resultado sugerido la integral de bucle debería ser (sin tener cuidado con los factores numéricos) $$ \int d^d k\, e^{i\vec{k}\cdot \vec{x}} \frac{1}{(\vec{k}+ \Delta)^2}= |\vec{x}|^{2-d/2} (t(1-t)\vec{q}^2)^{d/4-1} K_{d/2-2}( \sqrt{t(1-t)} |\vec{q}||\vec{x}|), $$ El último $t$ integral parece entonces bastante desagradable $$\int_0^1 dt \, e^{it \vec{x}\cdot \vec{q}} (t(1-t))^{d/4-1} K_{d/2-2}( \sqrt{t(1-t)}|\vec{q}||\vec{x}|), $$

tal vez pueda hacerse utilizando residuos y la representación integral en $K$ ? Esto parece raro ya que al final quiero tomar $d=3$ pero ¿qué es $K_{-1/2}$ ¿Entonces?

Answer 1

La transformada de Fourier dada por $$ F[\Delta](\vec{x})=\int \mathrm{d}^dk\, e^{i\vec{k}\cdot\vec{x}} \frac1{(\vec{k}{}^2+\Delta)^2}\,, $$ puede convertirse en Transformada de Hankel para la función radial $f(k) = 1/(k^2+\Delta)^2$ veces un factor $k^{d/2-1}$ . A saber $$ F[\Delta](\vec{x})= \frac{(2\pi)^{d/2}}{x^{d/2-1}} \int_0^\infty k^{d/2-1}f(k)J_{d/2-1}(kx)\,k\,\mathrm{d}k\,, $$ con $x \equiv (\vec{x}{}^2)^{1/2}$ y $J_\nu(z)$ es el Función de Bessel del primer tipo.

En la página de Wikipedia enlazada puedes encontrar una tabla con resultados comunes. Si no hay lo que necesita, algunos valus también se tabulan en [1].

En la citada referencia se encuentra que

$$ \int_0^\infty \frac{r^\nu}{(r^2+a^2)^{\mu+1}}\,J_\nu(xr)\,r\,\mathrm{d}r = \frac{a^{\nu-\mu} x^\mu K_{\nu-\mu}(as)}{2^\mu\Gamma(\nu+\tfrac12)}\,, $$ donde $K_\alpha$ es una función de Bessel modificada de segundo tipo y $\Gamma$ el Función gamma . Ahora sólo tienes que configurar $\mu=1,\, \nu=d/2-1,\,a^2 = \Delta$ .

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[1] A. D. Poularikas, Handbook of Formulas and Tables for Signal Processing. CRC Press, 1998.

Answer 2

¿Está seguro de que quiere esa integral en concreto? Parece que usted está tratando de calcular algo como $$ \int d^d x e^{-ir(x-y)} [g(x,y)]^2 $$ donde $$ g(x,y) = \int \frac{d^dk}{(2\pi)^d} \frac{ e^{ik(x-y)}}{k^2}, $$ es el propagador sin masa. La invariancia de traslación lo hace independiente de $y$ y da $$ \int \frac{d^dk}{(2\pi)^d} \frac{1} {(k)^2(k-r)^2}= \Pi(r) $$ sin su factor exponencial. No se me ocurre ningún cálculo de diagrama que te dé la integral que intentas hacer.
Tal vez lo que estás tratando de hacer es calcular $$ \int \frac{d^dr}{(2\pi)^d} \int \frac{d^dk}{(2\pi)^d} e^{ir(x-y)} \frac{1} {(k)^2(k-r)^2}? $$ Esto es $$ [g(x,y)]^2= \int \frac{d^dr}{(2\pi)^d}e^{ir(x-y)} \Pi(r) $$ y devuelve la burbuja en $x,y$ espacio.

En $g(x)\propto |x|^{-2(d-2)}$ puedes hacer cualquier FT de potencias de $g$ invirtiendo $$ \int \frac{d^n k}{(2\pi)^n} e^{ik\cdot(x-x')} |k^2|^s = \frac{4^s}{\pi^{n/2}}\frac{\Gamma(s+n/2)}{\Gamma(-s)} \frac{1}{|x-x'|^{2s+n}} $$