¿Por qué son interesantes los subfactores?

Question

Me hacen esta pregunta a menudo, y no estoy muy contento con ninguna de las respuestas.

Vagamente pienso en la teoría de subfactores como una generalización de la teoría de representación de grupos. Es decir, si tienes un subfactor de grupo/subgrupo, y miras la categoría de fusión, obtienes una categoría que tiene todos los datos de inducción y restricción para el subgrupo (creo). Así que tal vez esa sea mi primera pregunta, ¿qué información teórica de grupos se puede extraer de la categoría de fusión de un subfactor de subgrupo? Se puede hacer algo parecido con representaciones de grupos cuánticos, y también se obtienen subfactores "esporádicos", que no proceden de grupos ni de grupos cuánticos. Esto es interesante porque se parece un poco a la clasificación de grupos finitos, tienes un montón de familias y luego los divertidos e inesperados grupos esporádicos. Me encantaría escuchar la opinión de alguien más, si alguien puede hacer la analogía subfactores/teoría de grupos más formal.

La otra explicación que oigo sobre el interés de los subfactores es que "tienen muchas conexiones sorprendentes con otros temas y aparecen por todas partes". ¿Puede alguien contarme un caso así? ¿En qué otros temas han aparecido subfactores de forma inesperada? Me suena vagamente algo relacionado con matrices aleatorias...

Por supuesto, la respuesta fácil es que son realmente bonitos y geniales por derecho propio, y nadie tiene que convencerme de ello.

Answer 1

Si se quiere comprender una colección de objetos, es lógico que también se quieran comprender todos los mapas entre ellos. Como los factores no tienen ideales de dos caras, todo mapa entre factores es una inclusión. Por tanto, entender los mapas entre factores es lo mismo que entender los subfactores. (De este modo, los factores son análogos no conmutativos de los campos y, por tanto, los subfactores son una versión no conmutativa de la teoría de Galois).

Además, como todas las álgebras vN son integrales directas de factores, entender los subfactores es la única parte interesante para entender todos los mapas entre todas las álgebras vN.

Answer 2

Esta fue mi explicación de por qué me interesan los subfactores, que tiene un sabor diferente a mi otra respuesta de por qué "la gente" está interesada en ellos:

Las álgebras planas subfactoriales no son más que versiones unitarias de algo muy natural. Por ejemplo, son versiones unitarias de 2-categorías con 2 objetos (las categorías tensoriales son 2-categorías con 1 objeto, así que éste es el siguiente paso natural). También son las versiones unitarias de un objeto de álgebra simple en una categoría tensorial, así que si te gustan las álgebras simples (y a quién no) entonces te gustarán los subfactores. La suposición de unitaridad es conveniente para los cálculos y, por tanto, es conveniente suponerla cuando se intenta encontrar nuevos ejemplos. Además, la literatura sobre subfactores contiene muchos resultados que tienen aplicaciones a las categorías tensoriales, pero escritos en un lenguaje totalmente distinto, así que merece la pena aprender de qué subfactor habla la gente.

Answer 3

He aquí algunas respuestas parciales a algunas de las preguntas planteadas:

Cualquier grupo finito tiene una acción externa sobre el hiperfinito $II_1$ -factor $R$ . Esto significa que a partir de una inclusión de grupos finitos $H\leq G$ podemos utilizar la construcción del producto cruzado para formar el subfactor subgrupo $N=R\rtimes H\subseteq R\rtimes G=M$ cuyo índice es $[G\colon H]$ . En efecto, el grafo principal del subfactor subgrupo codifica los datos de inducción/restricción. En particular, si tomamos $H$ sea el grupo trivial, podemos leer las dimensiones de las representaciones irreducibles de $G$ .

Al igual que existen grupos simples esporádicos, existen 5 álgebras de Lie simples complejas excepcionales: $E_6$ , $E_7$ , $E_8$ , $F_4$ y $G_2$ . Observando las normas de los grafos, vemos que las únicas posibilidades de grafos principales para subfactores de índice inferior a 4 son $A_n$ , $D_n$ , $E_6$ , $E_7$ y $E_8$ . Resulta que sólo $A_n$ , $D_{2n}$ , $E_6$ y $E_8$ aparecen como grafos principales, lo que plantea una de las cuestiones principales de la teoría de subfactores: ¿qué grafos bipartitos finitos aparecen como grafos principales de subfactores de índice finito y profundidad finita? Se conoce una clasificación completa hasta $3+\sqrt{3}$ .

Una razón completamente distinta por la que los subfactores son interesantes es su conexión con la teoría de nudos. El polinomio de Jones se definió por primera vez utilizando una representación del grupo de trenzas en el $II_1$ -generado por las proyecciones de Jones procedentes de la construcción básica iterada de un subfactor de índice finito $N\subset M$ . Kauffman dio entonces una definición teórica de la madeja del polinomio de Jones que también nos da la representación pictórica de las álgebras de Temperley-Lieb (también generadas por las proyecciones de Jones). Utilizamos mucho estos diagramas planares en las álgebras planares, que son "equivalentes" a los subfactores cuando añadimos algunos adjetivos más (índice finito, subfactores extremos y álgebras planares C^* positivas esféricas, también conocidas como álgebras planares subfactoriales).

Answer 4

El título de esta charla sugiere que existe una especie de refinamiento de la teoría de Galois asociado a los subfactores, pero no puedo verlo aquí. Sabes dónde se puede leer sobre eso?