Integrando: cos(t)*(exp(cos(t)) + exp(sen(t))*cos(t))...

Question

Intento integrar

$\cos\left(t\right)\,\left({\mathrm{e}}^{\cos\left(t\right)}+{\mathrm{e}}^{\sin\left(t\right)}\,\cos\left(t\right)\right)-\sin\left(t\right)\,\left({\mathrm{e}}^{\sin\left(t\right)}+{\mathrm{e}}^{\cos\left(t\right)}\,\sin\left(t\right)\right)+1$

(sí, es largo)

Lo primero que pensé es que no era computable, pero las soluciones dicen que sí lo es.

$I = t+{\mathrm{e}}^{\cos\left(t\right)}\,\sin\left(t\right)+{\mathrm{e}}^{\sin\left(t\right)}\,\cos\left(t\right)$

Realmente no veo cómo llegar ya que $\cos^2(t)\,e^{\cos(t)}$ no puede calcularse analíticamente.

Answer 1

Dejemos caer el $+1$ cuyo efecto es trivial. Ahora compara un reordenamiento $$(\cos t-\sin^2t)e^{\cos t}+(\cos^2t-\sin t)e^{\sin t}$$ con $$\frac{d}{dt}(C(t)e^{\cos t}+S(t)e^{\sin t})=(C^\prime-C\sin t)e^{\cos t}+(S^\prime+S\cos t)e^{\cos t},$$ por lo que hay que resolver $$C^\prime-C\sin t=\cos t-\sin^2t,\,S^\prime+S\cos t=\cos^2t-\sin t.$$ Ha preguntado cómo detectar $C=\sin t,\,S=\cos t$ . La frase "por inspección" me viene a la mente. Dado que no podemos resolver estas EDOs con una técnica estándar sin volver al problema original, lo más natural es intentar identificar cada función al cuadrado con el término que carece de a ${}^\prime$ .