Demostrar que $0 \le \frac{1+\cos\theta}{2+\sin\theta} \le \frac{4}{3}$ para todos los reales $\theta$ .

Question

He intentado sustituir $1+\cos\theta=2\cos^2(\frac{\theta}{2})$ pero no me dio la respuesta.

Answer 1

Usando la fórmula del semiángulo lo convertimos en la función tan. (Esperando que conozcas las fórmulas de sin,cos para convertirlo a $\tan (x/2) $ ). Así que lo obtenemos como $$\frac {1}{1+\tan^2 (\frac {x}{2})+\tan (\frac {x}{2})}$$ . El máximo del denominador es obvio que es infinito por lo que el mínimo de toda la función es $0$ . Ahora utilizamos el cálculo para hallar el mínimo del denominador. Diferenciando sólo el denominador tenemos $2\tan (\frac {x}{2})=-1$ sabiendo que podemos cancelar $\sec^2 (\frac {x}{2}) $ ya que nunca $0$ . Así, el mínimo se alcanza en $\tan (\frac {x}{2})=-1/2$ . Verifícalo utilizando la prueba de la segunda derivada. Por tanto el mínimo del denominador es el máximo de la función . Sustituyendo $-1/2$ obtenemos el máximo como $\frac {4}{3} $ como desee.

Answer 2

Sea $\dfrac{1+\cos\theta}{2+\sin\theta}=y$

$$\iff2y-1=\cos\theta-y\sin\theta=\sqrt{y^2+1}\cos\left(\theta+\arccos\dfrac1{\sqrt{y^2+1}}\right)$$

$$-\sqrt{y^2+1}\le2y-1\le\sqrt{y^2+1}$$

$$\implies(2y-1)^2\le y^2+1\iff0\ge3y^2-4y=3y\left(y-\dfrac43\right)$$

$$\implies0\le y\le\dfrac43$$