Estoy estudiando la convergencia de una serie de potencias, cuando me encuentro con este teorema:
Sea $\sum a_nx^n$ sean series de potencias con un radio de convergencia de $R$ entonces para todo $0<r<R$ la serie converge uniformemente en $[-r,r]$ . Además, si la serie converge a $x=R$ entonces converge uniformemente en $[0,R]$
Mi pregunta es, si una serie de potencias converge dentro de un radio $R$ y además converge en $x=-R$ y $x=R$ ¿se deduce que converge uniformemente en $[-R,R]$ (intervalo cerrado).
Me parece que podemos tomar $max(N_1, N_2)$ donde $N_i$ son las funciones de epsilon, pero no estoy seguro de que sea cierto.
EDITAR: Deja $\epsilon > 0$ entonces existe $N_1, N_2$ tal que para todo $n>N_1$ , $|f_n(x)-f(x)| < \epsilon$ en $[0,R]$ y para todos $n>N_2$ $|f_n(x)-f(x)| < \epsilon$ en $[-R,0]$ .
Toma $N=max\{N_1,N_2\}$
¿Es cierto?
