¿Tiene este problema una solución única en $[t_0,t_1]$ ?
$$ \ddot x(t)=\alpha(1-t)\cos(x(t))$$ $$x(t_0)=0$$ $$ \dot x(t_1)=0$$
Gracias.
Respuesta
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Sí, por el Teorema de Picard-Lindelöf o el Teorema de Cauchy-Lipschitz . Para ver esto, escribe tu EDO de segundo orden como un sistema bidimensional de EDO de primer orden: \begin{align} \frac{\text{d} x}{\text{d} t} &= y(t),\\ \frac{\text{d} y}{\text{d} t} &= (1-t) \cos(x(t)). \end{align} Ahora puede demostrar que la función \begin{equation} f : (t_0,t_1) \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad f(t;x,y) = \begin{pmatrix} y \\ (1-t) \cos(x) \end{pmatrix} \end{equation} es continua de Lipschitz (en un determinado conjunto $U \subset \mathbb{R}^2$ ), demostrando que existe una constante $L$ tal que \begin{equation} \|f(t;x,y) - f(t;\hat{x},\hat{y})\| \leq L \left\| \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}\hat{x}\\ \hat{y} \end{pmatrix} \(en inglés) \fin para todo $t \in (t_0,t_1)$ y todos $(x,y),(\hat{x},\hat{y}) \in U$ .
EDITAR : Lo anterior es válido para los problemas de valor inicial. En tu caso, la cuestión es realmente de existencia. En otras palabras: dado $t_0$ , $t_1$ ¿existe $y_0,x_1 \in \mathbb{R}$ tal que la órbita en el sistema de EDO anterior asociada a la condición inicial $(x(t_0),y(t_0)) = (0,y_0)$ obedece a $(x(t_1),y(t_1)) = (x_1,0)$ ? Esta pregunta es mucho más difícil de responder.
Una pista para la respuesta puede encontrarse en la observación de que podemos acotar el lado derecho de la EDO original: \begin{equation} \left| \alpha (1-t) \cos x \right| \leq |\alpha(1-t)|. \end{equation} Para las EDO de segundo orden con dicha propiedad, la existencia de un problema de valor límite como el que usted ha descrito puede encontrarse en el Teorema 2.1 y el Corolario 2.2 en
Lloyd K Jackson, Subfunciones y desigualdades diferenciales ordinarias de segundo orden , Avances en Matemáticas 2(3) (1968), pp 307-363 [DOI] .
