(∞, 1)-descripción categorial de la teoría de homotopías equivariante.

Question

Estoy intentando aprender un poco sobre la teoría de homotopía equivariante. Sea G un grupo de Lie compacto. Supongo que existe una categoría modelo generada cofibrantemente cuyos objetos son espacios topológicos (de Hausdorff débil compactamente generados o lo que sea) con acción G y cuyos morfismos son mapas G, en los que las cofibraciones generadoras son mapas de la forma G/H x S n-1 → G/H x D n (n ≥ 0, H un subconjunto cerrado de G) y las cofibraciones acíclicas generadoras son lo análogo obvio. Aparentemente las equivalencias débiles en esta categoría son aquellos mapas que inducen equivalencia débil en puntos fijos de H para cada subgrupo cerrado H de G. Asumo que la correspondiente (,1)-categoría es presentable. (Mi pregunta preliminar es, ¿conoce alguien una buena fuente para este párrafo?)

Mi verdadera pregunta es: ¿Se puede dar una descripción (,1)-categórica de esta categoría, digamos a través de una propiedad universal, o construida de alguna manera a partir de la categoría de espacios? Por ejemplo, ¿cuál es una presentación explícita como localización de una categoría de presheaves de espacios? (Un ejemplo del tipo de respuesta que busco es "functores de BG a espacios", pero eso describe una categoría modelo de espacios G cuyas equivalencias débiles son simplemente equivalencias débiles de los espacios subyacentes).

(Mi siguiente pregunta sería pedir una descripción análoga de la categoría de homotopía estable equivariante. Imagino que esto sería fácil si supiera responder a la primera pregunta, pero si ocurre algo especial en la situación estable, me gustaría saberlo).

Answer 1

Creo que una buena referencia para el primer párrafo es "Equivariant Homotopy and Cohomology Theory" de Peter May y un montón de gente más. El capítulo 5 incluye el "teorema de Elmendorf" según el cual esta teoría de homotopía de espacios G es equivalente a la teoría de homotopía de diagramas de espacios en la categoría orbital O(G) de G. En esta última teoría de homotopía, las equivalencias débiles son "niveladas", como es habitual en la teoría de homotopía de diagramas.

Estoy menos seguro acerca de las versiones (∞,1)-categórica, pero yo esperaría que el (∞,1)-categoría asociada a un modelo de nivelwise estructura en O(G)-diagramas será esencialmente el (∞,1)-categoría de functors de O(G) a la (∞,1)-categoría de espacios. Eso debería implicar que también es localmente presentable.

Uno podría suponer que la categoría de homotopía estable equivariante sería la "estabilización" de esta (∞,1)-categoría, pero eso no es del todo obvio para mí. La cuestión es que hay dos tipos de espectros G: los espectros G "ingenuos", que están indexados en números enteros, y los espectros G "verdaderos", que están indexados en representaciones G. Me parece posible que el proceso estándar de "estabilización" de una (∞,1)-categoría sólo se estabilizará con respecto a los números enteros.

Answer 2

He intentado contenerme para no responder a esta pregunta, porque no estoy del todo seguro de que mi opinión al respecto sea correcta. A mí me parece que un espectro G debería ser un espectro con una acción de G en él, y punto. Obviamente tienes que especificar tu noción de espectro, y obviamente si quieres incluir grupos topológicos G es mejor que sea una categoría simétrica monoidal de espectros que esté enriquecida sobre espacios topológicos. Así que podrías tomar módulos S de EKMM o espectros ortogonales (mi favorito personal) o espectros simétricos basados en espacios topológicos. Con cualquiera de estas categorías, existe la noción de espectro G, con la que me refiero a un espectro con una acción de G.

Ya te oigo objetar debes de ser demasiado ingenuo ¿y los universos G completos? Yo opino que elegir un universo equivale a elegir una estructura modelo en la única categoría de espectros G dada por Dios. Elegir un universo más pequeño sólo significa localizar la estructura del modelo. Así pues, el universo completo es el "inicial", y cualquier otro universo es una localización del universo completo. El universo ingenuo es el "terminal", en el sentido de que es una localización de todos los demás universos. Hay muchos universos que corresponden a estructuras modelo intermedias.

Ahora no recuerdo cómo se supone que deben ser estas estructuras modelo, pero creo que tanto Neil Strickland como Tony Elmendorf han escrito por separado algo sobre este enfoque. Puede que el de Tony forme parte de un artículo conjunto, no lo recuerdo. Creo que es una manera diferente de ver las cosas, pero va tan en contra del punto de vista predominante que no ha tenido mucha tracción.

De nuevo, tengo que confesar que estoy trabajando de memoria a partir de algo que probablemente no entendí del todo. Posiblemente Mike Shulman u otra persona podrán convencerme de que estoy completamente equivocado.

Answer 3

Yo diría que

a) la cohomología es en cualquier caso algo definido en algún (oo,1)-topos (tal vez en secreto, pero aún así) -- detalles y más enlaces sobre este punto de vista en nLab:cohomología

b) desde ese punto de vista general existe una definición muy general de cohomología equivariante, como se indica en nLab:cohomología equivariante

Más concretamente, se trata de (la generalización de) Cohomología equivariante de Borel . Véase el comentario en A Survey of Elliptic Cohomology: cohomología equivariante - cohomología equivariante de Borel .

Answer 4

Sea C la categoría de los G-manifolds homogéneos; los conjuntos hom tienen una topología natural por lo que se puede considerar C como una categoría infinita. La categoría de homotopía equivariante es la categoría de funtores contravariantes de C a la categoría infinita de espacios. Se construye un funtor de este tipo a partir de un espacio G honesto restringiendo Hom_G(-,X) a C.

Creo que esta respuesta es un poco decepcionante: dice que todo lo que la topología algebraica puede ver en un espacio G son los conjuntos de puntos fijos con respecto a los subgrupos. ¿Cuáles son los teoremas en este sentido que justifican esta definición?

De acuerdo con la discusión que sigue, la respuesta es el teorema de Whitehead: cualquier equivalencia de homotopía G débil entre espacios G suficientemente mansos -al menos, todos los complejos G-CW (Whitehead) y todos los G-manifolds lisos (Illman)- es una equivalencia de homotopía G fuerte. "Débil" significa que el mapa induce un isomorfismo en los grupos de homotopía de todos los conjuntos de punto fijo, y "fuerte" significa que hay un mapa equivariante hacia atrás de modo que las composiciones son equivariantemente homotópicas a los mapas de identidad.